12.2 Lengden av en vektor
Intro
Lengden av en vektor, også kalt vektorens norm eller beløp, er et fundamentalt mål i vektorregning. Lengden forteller oss hvor langt vektoren «rekker» – uavhengig av retning. Formelen er en direkte konsekvens av Pytagoras' setning: komponentene x og y utgjør katetene i en rettvinklet trekant, og vektorlengden er hypotenusen.
Regel
- Lengden av v = (x, y) er |v| = √(x² + y²)
- Lengden er alltid ikke-negativ: |v| ≥ 0
- Nullvektoren (0, 0) har lengde 0: |(0, 0)| = 0
- Skalering endrer lengden: |k · v| = |k| · |v|
- For 3D-vektorer v = (x, y, z): |v| = √(x² + y² + z²)
- Avstand fra origo til (x, y) er identisk med lengden: √(x² + y²)
Eksempel
v=(3,4)
- Vi vil finne lengden av vektoren v = (3, 4)
- Bruker lengdeformelen: |v| = √(x² + y²)
- Setter inn x = 3 og y = 4: |v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16)
- |v| = √25 = 5
- Svar: |v| = 5 – vi gjenkjenner det klassiske 3−4−5-trekanten fra Pytagoras
Svar: 5
Forstå
Lengden av vektoren v = (x, y) finnes ved å bruke Pytagoras: vi tegner en rettvinklet trekant der de to katetene er |x| og |y|, og hypotenusen er nettopp vektorlengden. Formelen |v| = √(x² + y²) er identisk med avstandsformelen fra origo til punktet (x, y). Legg merke til at vi alltid kvadrerer komponentene – lengden er aldri negativ.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme å kvadrere komponentene og i stedet skrive |v| = x + y. Den riktige formelen krever kvadrering: |v| = √(x² + y²), ikke √(x + y). En annen feil er å bruke diameteren i stedet for de individuelle komponentene – x og y kvadreres hver for seg og legges deretter sammen under rotsymbolet.
Øv selv
Lett: Finn lengden av v=(6,8).
Minioppsummering
- Lengden av v = (x, y) er |v| = √(x² + y²) – direkte fra Pytagoras
- Komponentene kvadreres og legges sammen under rotsymbolet
- Lengden er alltid ikke-negativ: |v| ≥ 0
- Skalering med k endrer lengden: |k · v| = |k| · |v|