14.5 Vektorproduktet
Intro
Vektorproduktet (kryssprodukt) er en operasjon som er unik for tre dimensjoner – det gir en ny vektor som er vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene. Dette er et kraftig verktøy: det lar oss finne normalvektorer til plan, beregne areal av parallellogrammer og analysere rotasjon og dreiemoment i mekanikk. Vektorproduktet finnes ikke i 2D og er en ekte 3D-operasjon.
Regel
- u×v = (b·f−c·e, c·d−a·f, a·e−b·d) for u=(a,b,c), v=(d,e,f)
- Resultatet er alltid en vektor (ikke et tall)
- u×v er vinkelrett (⊥) på både u og v
- Størrelsen: |u×v| = |u||v|sin θ (arealet av parallellogrammet)
- Anti-kommutativt: u×v = −(v×u)
- u×v = 0 hvis u og v er parallelle (sin 0° = 0)
Eksempel
Hva gir?
- Vi ser på hva vektorproduktet u×v gir for to vilkårlige vektorer u og v i 3D.
- Resultatet er en ny vektor – ikke et tall som ved skalarproduktet.
- Denne vektoren er vinkelrett (⊥) på både u og v, altså den er normal til planet som inneholder u og v.
- Retningen bestemmes av høyrehåndsregelen: pek fingrene fra u mot v, og tommelen viser retningen.
- Lengden |u×v| = |u||v|sin θ gir arealet av parallellogrammet dannet av u og v.
Svar: vektor
Forstå
Der skalarproduktet måler 'likhet i retning' og gir et tall, måler vektorproduktet 'rettvinklethet' og gir en ny vektor. Den resulterende vektoren peker i en retning bestemt av høyrehåndsregelen: krum fingrene fra u mot v, og tommelen peker i retningen til u×v. Lengden av kryssprodukt-vektoren tilsvarer arealet av parallellogrammet utspent av u og v.
Vanlig feil
En typisk feil er å tro at vektorproduktet gir et tall – som skalarproduktet. Det gjør det ikke: u×v er alltid en vektor i 3D. En annen vanlig feil er å blande rekkefølgen: u×v = −(v×u), så rekkefølgen på faktorene har stor betydning og gir motsatt rettet vektor.
Øv selv
Lett: Gir vektorproduktet et tall eller en vektor?
Minioppsummering
- Vektorproduktet u×v gir en ny vektor som er vinkelrett på både u og v.
- Det er en 3D-operasjon uten tilsvarende i 2D og brukes til å finne normalvektorer til plan.
- Størrelsen |u×v| = |u||v|sin θ er lik arealet av parallellogrammet utspent av u og v.
- Vektorproduktet er anti-kommutativt: u×v = −v×u (rekkefølgen betyr noe!).