17.8 Integrasjon og volum
Intro
Integrasjon kan brukes til å beregne volum av tredimensjonale figurer – ikke bare areal av todimensjonale flater. Den viktigste metoden er skivemetoden: tenk deg at du roterer en kurve rundt x-aksen og lager et omdreiningslegeme (som en bolle eller et glass). Volumet finnes ved å summere uendelig mange tynne sirkeldisker. Metoden er grunnleggende i industrielt design, fysikk og konstruksjon av omdreiningslegemer.
Regel
- Skivemetoden: V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx (rotasjon rundt x-aksen)
- Skallmetoden: V = 2π·∫ₐᵇ x·f(x) dx (rotasjon rundt y-aksen)
- Volum mellom to kurver: V = π·∫ₐᵇ {[f(x)]² − [g(x)]²} dx
- Hvert element er en tynn sirkelskive med radius f(x) og tykkelse dx
- Arealet av én skive: A = πr² = π[f(x)]²; volum av elementet: dV = π[f(x)]²dx
- Viktig: f(x) kvadreres, ikke bare multipliseres
Eksempel
Hva finnes?
- Vi finner volumet av omdreiningslegemet når f(x) = √x roteres rundt x-aksen fra x=0 til x=1.
- Bruk skivemetoden: V = π·∫₀¹ [f(x)]² dx = π·∫₀¹ [√x]² dx = π·∫₀¹ x dx.
- Integrer: π·[x²/2]₀¹ = π·(1/2 − 0) = π/2.
- Volumet av omdreiningslegemet er V = π/2 kubikkenheter.
- Merk at [√x]² = x – kvadrering forenklet uttrykket, noe som er typisk ved skivemetoden.
Svar: volum
Forstå
Forestill deg at du sager en omdreiningslegeme i uendelig mange tynne skiver vinkelrett på x-aksen. Hver skive er en sirkel med radius r = f(x) og tykkelse dx. Arealet av skiven er πr² = π[f(x)]², og volumet av den tynne skiven er π[f(x)]²·dx. Summen av alle slike skiver – i grensen – er integralet ∫π[f(x)]²dx. Dette er skivemetoden.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme å kvadrere f(x) i skivemetoden. Formelen er V = π∫[f(x)]²dx, ikke V = π∫f(x)dx. Å glemme kvadreringen kan gi et svar som er mye for lite eller mye for stort. Husk: radius til skiven er f(x), og arealet av en sirkel er πr² – kvadrering er en del av sirkelarealet.
Øv selv
Lett: Finn volumet ved rotasjon av y=x rundt x-aksen på [0,1].
Minioppsummering
- Skivemetoden: V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx – volum av omdreiningslegeme rundt x-aksen.
- Hvert volumelement er en tynn sirkelskive med areal π[f(x)]² og tykkelse dx.
- Viktig: f(x) MÅ kvadreres i formelen – dette er sirkelarealet πr².
- For volum mellom to kurver: V = π·∫ₐᵇ {[f(x)]² − [g(x)]²} dx.