4.9 Andregradsulikheter
Intro
Andregradsulikheter er ulikheter der x opptrer med eksponent 2, for eksempel x² − 4 > 0. Vi løser dem ved å finne nullpunktene og analysere fortegnet til uttrykket i hvert intervall. Svaret er gjerne et eller to intervaller på tallinjen.
Regel
- Finn nullpunktene ved å løse ax² + bx + c = 0
- Del tallinjen i intervaller ved nullpunktene
- Test ett tall fra hvert intervall i ulikheten
- For > 0: ta med intervaller der uttrykket er positivt
- For ≥ 0: inkluder nullpunktene (bruk ≤ eller ≥ i svaret)
Eksempel
Løs: x² − 4 > 0
- Finn nullpunktene: x² − 4 = 0 → x = ±2
- Del tallinjen i tre intervaller: x < −2, −2 < x < 2, x > 2
- Test x = −3: (−3)² − 4 = 5 > 0 ✓ – løsning
- Test x = 0: 0 − 4 = −4 < 0 ✗ – ikke løsning
- Test x = 3: 9 − 4 = 5 > 0 ✓ – løsning: x < −2 eller x > 2
Svar: x<-2ellerx>2
Forstå
Fordi et andregradsuttrykk er kontinuerlig og bare skifter fortegn ved nullpunktene, holder det å teste ett punkt per intervall. Tegn gjerne en fortegnslinje for å holde oversikten. Husk at ved strikt ulikhet (< eller >) tas ikke nullpunktene med i løsningen.
Vanlig feil
En vanlig feil er å ta med feil intervaller – for eksempel å inkludere området mellom nullpunktene når uttrykket faktisk er negativt der. Gjør alltid en eksplisitt test i hvert intervall, og pass på om nullpunktene skal inkluderes (≥) eller ikke (>).
Øv selv
Lett: Løs: x² - 1 > 0
Minioppsummering
- Finn nullpunktene til andregradsuttrykket
- Del tallinjen i intervaller ved nullpunktene
- Test ett punkt per intervall og merk fortegn
- Ta med intervaller som oppfyller ulikheten – husk grenseverdier ved ≤/≥