5.3 Resten ved en polynomdivisjon
Intro
Restsetningen er en elegant snarvei for å finne resten uten å utføre full polynomdivisjon. Den sier at resten når f(x) deles på (x − a) er akkurat f(a). Dette er spesielt nyttig for å sjekke om et uttrykk er en faktor i polynomet, og for å evaluere polynomer raskt.
Regel
- Restsetningen: resten ved divisjon av f(x) på (x − a) er f(a)
- Faktorsetningen: f(a) = 0 ⟺ (x − a) er en faktor i f(x)
- Merk: divisoren må være på formen (x − a), ikke (x + a) – da er a negativ
- Restsetningen sparer tid fordi du bare setter inn én verdi i f(x)
- Gjelder for alle polynomer f(x) med reelle koeffisienter
Eksempel
Finn resten når f(x) = x² + 1 deles på (x − 1)
- Divisoren er (x − 1), så a = 1
- Bruk restsetningen: rest = f(a) = f(1)
- Regn ut: f(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
- Resten er 2
- Siden f(1) ≠ 0, er ikke (x − 1) en faktor i f(x)
Svar: 2
Forstå
Restsetningen fungerer fordi enhver polynomdivisjon kan skrives som f(x) = (x - a)·q(x) + r, der r er en konstant. Setter du x = a inn, forsvinner det første leddet og du sitter igjen med f(a) = r. Dette er en rask og elegant metode.
Vanlig feil
En vanlig feil er å forveksle fortegnet på a. Divisoren (x − a) gir a, men divisoren (x + 3) tilsvarer (x − (−3)), altså a = −3. Sett alltid inn den verdien som gjør divisoren lik null.
Øv selv
Lett: Hva er resten når f(x) = x² deles på (x - 1)?
Minioppsummering
- Rest ved divisjon av f(x) på (x − a) er f(a)
- Sett inn verdien av a direkte i f(x) for å finne resten
- Hvis f(a) = 0, er (x − a) en faktor (faktorsetningen)
- Husk: divisoren (x + a) tilsvarer (x − (−a)), altså sett inn −a
Divisor er (x−1), derfor bruker vi a=1.