6.2 Kontinuerlige funksjoner
Intro
Kontinuitet er en av de mest sentrale egenskapene vi studerer hos funksjoner, og har stor praktisk betydning i fysikk, økonomi og ingeniørfag. En kontinuerlig funksjon oppfører seg 'pent' – det er ingen plutselige hopp eller hull i grafen. Mange viktige satser i matematikken, som skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen, gjelder kun for kontinuerlige funksjoner.
Regel
- f er kontinuerlig i x = a hvis: (1) f(a) er definert, (2) lim(x→a) f(x) eksisterer, og (3) lim(x→a) f(x) = f(a)
- Polynomer er alltid kontinuerlige for alle reelle x
- Rasjonale funksjoner f(x) = p(x)/q(x) er kontinuerlige der q(x) ≠ 0
- Summen, differansen, produktet og sammensetningen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig
- Diskontinuitet kan være hopp (endelig brudd), hull (fjernbart brudd) eller asymptote (uendelig brudd)
Eksempel
Er f(x) = (x² − 1)/(x − 1) kontinuerlig i x = 1?
- Sjekk om f(1) er definert: innsetting gir 0/0 – funksjonen er ikke definert i x = 1
- Faktoriser: (x² − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 for x ≠ 1
- Grenseverdien lim(x→1) f(x) = 1 + 1 = 2 eksisterer
- Men siden f(1) ikke er definert, er f ikke kontinuerlig i x = 1
- Grafen har et hull (fjernbart brudd) ved punktet (1, 2)
Svar: nei
Forstå
Tenk deg at du tegner grafen uten å løfte blyanten fra papiret – det er kontinuitet. Mer presist: en funksjon er kontinuerlig i et punkt a hvis grenseverdien i a eksisterer, funksjonen er definert i a, og disse to er like. Diskontinuitet oppstår for eksempel i 1/x ved x = 0, der funksjonen bryter helt ned og grafen har et uendelig brudd.
Vanlig feil
Mange tenker at en funksjon er kontinuerlig bare fordi grenseverdien eksisterer, men det er ikke tilstrekkelig – funksjonen må også være definert i punktet, og de to verdiene må stemme overens. For eksempel er f(x) = (x−1)/(x−1) ikke kontinuerlig i x = 1 selv om grensen er 1, fordi f(1) er udefinert.
Øv selv
Lett: Er f(x)=x kontinuerlig for alle x?
Minioppsummering
- Tre krav for kontinuitet: funksjonen er definert, grense eksisterer, og de er like
- Polynomer er alltid kontinuerlige på hele tallinjen
- Rasjonale funksjoner er kontinuerlige overalt der nevneren ikke er null
- Diskontinuiteter kan være hull (fjernbare), hopp eller asymptotiske brudd