8.7 Drøfting av logaritmefunksjoner
Intro
Drøfting av logaritmefunksjoner kombinerer alt vi vet om ln x med derivasjonsverktøyene fra funksjonsdrøfting. En logaritmefunksjon som f(x) = ln(x² − 4) eller g(x) = x · ln x krever at vi først identifiserer definisjonsmengden, deretter finner ekstremalpunkter og vendepunkter, og til slutt beskriver den globale oppførselen. Den deriverte av ln x er 1/x, noe som er en av de viktigste derivasjonsreglene i matematikken.
Regel
- d/dx [ln x] = 1/x for alle x > 0
- d/dx [ln(g(x))] = g'(x) / g(x) (kjerneregelen for ln)
- Definisjonsmengde: g(x) > 0 – løs ulikheten for å finne der funksjonen er definert
- ln x er strengt voksende (f'(x) = 1/x > 0) – ingen lokale maksima eller minima for bare ln x
- ln x er konkav ned (f''(x) = −1/x² < 0) – grafen bøyer alltid nedover
- Vertikal asymptote der g(x) → 0⁺, og ln → −∞
Eksempel
Er ln x voksende?
- For å avgjøre om ln x er voksende, finner vi den deriverte
- f(x) = ln x ⟹ f'(x) = 1/x
- For alle x i definisjonsmengden (x > 0) er f'(x) = 1/x > 0
- Siden f'(x) > 0 for hele definisjonsmengden, er funksjonen strengt voksende
- Svar: Ja – ln x er alltid voksende på sitt definisjonsmengde (0, ∞)
Svar: ja
Forstå
Derivasjonsregelen d/dx[ln x] = 1/x er elegant og viktig. Den forteller oss at stigningen til grafen er 1/x – nær x = 0 er stigningen veldig bratt (1/0.1 = 10), men ved x = 100 er stigningen nesten flat (1/100 = 0,01). Dette forklarer den karakteristiske formen til ln-grafen: bratt nær origo og stadig flatere utover. For sammensatte funksjoner bruker vi kjerneregelen.
Vanlig feil
En vanlig feil ved drøfting av f(x) = ln(g(x)) er å glemme å ta kjerneregelen: den deriverte er g'(x)/g(x), ikke 1/x. For eksempel: d/dx[ln(x²)] = 2x/x² = 2/x, ikke 1/x². En annen feil er å sette definisjonsmengden til x > 0 uten å sjekke hvilke x-verdier som gjør g(x) > 0.
Øv selv
Lett: Er ln x voksende på (0,∞)?
Minioppsummering
- Derivert av ln x er 1/x – bruk kjerneregelen for sammensatte uttrykk: d/dx[ln(g(x))] = g'(x)/g(x)
- Finn definisjonsmengden ved å løse ulikheten g(x) > 0
- ln x er alltid strengt voksende og konkav ned – ingen lokale ekstremalpunkter for ren ln x
- Vertikal asymptote der argumentet nærmer seg null fra høyre