9.5 Arealsetningen
Intro
Arealsetningen er en kraftig generalisering av den kjente formelen A = ½ · grunnlinje · høyde, og den fungerer for alle trekanter – ikke bare rettvinklede. Den brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SAS-konfigurasjon), noe som er svært vanlig i praktiske problemer som landmåling, navigasjon og arkitektur. Setningen kobler areal direkte til vinkelen mellom to sider, og er grunnlaget for sinussetningen.
Regel
- A = ½ · a · b · sin(C), der C er vinkelen mellom sidene a og b
- Formelen gjelder for alle trekanter – ikke bare rettvinklede
- Bruk formelen når to sider og den innesluttede vinkelen er kjent (SAS)
- For rettvinklet trekant (C = 90°): sin(90°) = 1, og formelen gir A = ½ · a · b
- Sinus-faktoren gjenspeiler at bare den vinkelrette komponenten av b bidrar til arealet
Eksempel
a=4, b=5, v=90°
- Vi har to sider a = 4 og b = 5, og vinkelen mellom dem er v = 90°
- Bruker arealsetningen: A = ½ · a · b · sin(v)
- Setter inn: A = ½ · 4 · 5 · sin(90°)
- sin(90°) = 1, så A = ½ · 4 · 5 · 1 = ½ · 20 = 10
- Svar: A = 10
Svar: 10
Forstå
Tenk på en trekant med to sider a og b og vinkelen C mellom dem. Høyden fra toppen til grunnlinjen a er h = b · sin(C) – det er bare den lodrette delen av b som «teller» for arealet. Setter vi dette inn i A = ½ · a · h, får vi nettopp A = ½ · a · b · sin(C). Dermed er arealsetningen egentlig bare den vanlige arealformelen omskrevet med trigonometri.
Vanlig feil
En vanlig feil er å glemme sin(C)-faktoren og bare bruke A = ½ · a · b. Dette gir feil svar med mindre vinkelen er 90°. En annen feil er å bruke en annen vinkel enn den som er mellom de to sidene – C må være den innesluttede vinkelen mellom nettopp sidene a og b, ikke en annen vinkel i trekanten.
Øv selv
Lett: Finn arealet når a=8, b=5 og C=90°.
Minioppsummering
- Arealsetningen: A = ½ · a · b · sin(C), der C er vinkelen mellom sidene a og b
- Gjelder for alle trekanter – bruk den når to sider og innesluttet vinkel (SAS) er kjent
- sin(90°) = 1 gir den vanlige formelen A = ½ · a · b for rettvinklede trekanter
- C må være vinkelen direkte mellom sidene a og b – ikke en vilkårlig vinkel