9.7 Cosinussetningen

Til kapittel 9

Intro

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagorassetningen som gjelder for alle trekanter, ikke bare rettvinklede. Den er uunnværlig i situasjoner der Pytagoras ikke holder og sinussetningen ikke kan brukes direkte – typisk SAS (to sider og innesluttet vinkel) og SSS (alle tre sider kjent). Cosinussetningen brukes i alt fra GPS-beregninger og kartografi til robotikk og spill-programmering.

Regel

  • c² = a² + b² − 2ab·cos(C) (den vanligste formen – finn c når a, b og C er kjent)
  • a² = b² + c² − 2bc·cos(A) (finn a når b, c og A er kjent)
  • b² = a² + c² − 2ac·cos(B) (finn b når a, c og B er kjent)
  • Finn vinkel: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) – inverter til C = cos⁻¹(...)
  • Spesialtilfelle: C = 90° ⟹ cos(90°) = 0 ⟹ c² = a² + b² (Pytagoras!)
  • Bruk ved SAS (to sider og innesluttet vinkel) eller SSS (alle tre sider kjent)

Eksempel

c²=a²+b²

  • Vi undersøker hva cosinussetningen gir når vinkelen C = 90°
  • Cosinussetningen: c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
  • Setter inn C = 90°: c² = a² + b² − 2ab·cos(90°)
  • cos(90°) = 0, så korreksjonsleddet forsvinner: c² = a² + b² − 0 = a² + b²
  • Svar: Vi gjenkjenner Pytagoras – cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras

Svar: pytagoras

Forstå

Cosinussetningen kan ses som en «korrigert» Pytagoras: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Korreksjonsleddet −2ab·cos(C) justerer for at vinkelen C ikke er 90°. Når C = 90° er korreksjonsleddet null, og vi får Pytagoras tilbake. For spisse vinkler (C < 90°) er cos(C) > 0, så c² < a² + b² – siden c er kortere enn Pytagoras ville predikert. For stumpe vinkler (C > 90°) er cos(C) < 0, og c² > a² + b².

Vanlig feil

Den vanligste feilen er feil fortegn i formelen – å skrive c² = a² + b² + 2ab·cos(C) i stedet for minus. Korreksjonsleddet er alltid −2ab·cos(C), med minustegn. En annen feil er å bruke cosinussetningen der sinussetningen er raskere – hvis to vinkler og en side er kjent, er sinussetningen enklere å bruke.

Øv selv

Lett: Finn c når a=5, b=7 og C=60°.

Minioppsummering

  • Cosinussetningen: c² = a² + b² − 2ab·cos(C) – generalisering av Pytagoras
  • Bruk ved SAS (to sider + innesluttet vinkel) for å finne den tredje siden
  • Bruk ved SSS (alle sider kjent) for å finne en vinkel: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)
  • C = 90° gir Pytagoras (cos(90°) = 0) – cosinussetningen inneholder Pytagoras som spesialtilfelle
← Tilbake
c² = a²+b² − 2ab·cos C
Regel
c² = a² + b² − 2ab·cos(C).
Kjerneidé
C ligger mellom a og b.
Vanlig feil
Pluss i stedet for minus foran 2ab·cos(C).
Frem →