10.3 Generelle trigonometriske definisjoner
Intro
I trekantgeometri defineres sinus, cosinus og tangens bare for vinkler mellom 0° og 90°. Men i virkeligheten – i bølgefysikk, rotasjon og signalbehandling – trenger vi trigonometriske verdier for alle vinkler, også negative og over 360°. Enhetssirkelen gir oss den generelle definisjonen som fungerer på hele tallinja og forener alle tilfeller i ett sammenhengende system.
Regel
- Enhetssirkelen: punktet P(cos v, sin v) på sirkel med r = 1
- sin v = y-koordinaten til P på enhetssirkelen
- cos v = x-koordinaten til P på enhetssirkelen
- tan v = sin v / cos v (udefinert når cos v = 0)
- Periodisitet: sin(v + 360°) = sin v, cos(v + 360°) = cos v
- Fortegn etter kvadrant: Q1(+,+), Q2(−,+), Q3(−,−), Q4(+,−)
Eksempel
sin 0
- Vi ønsker å finne sin 0° ved hjelp av enhetssirkelen.
- Tegn strålen fra origo langs positiv x-akse (vinkel = 0°).
- Strålen treffer enhetssirkelen i punktet (1, 0).
- y-koordinaten til dette punktet gir oss sinusverdien: sin 0° = 0.
- Svaret er 0, som stemmer med at sinus starter i null og stiger mot 1.
Svar: 0
Forstå
Enhetssirkelen er en sirkel med radius 1 sentrert i origo. For enhver vinkel v målt fra positiv x-akse mot klokken, angir det punktet der strålen treffer sirkelen nøyaktig verdiene (cos v, sin v). Denne definisjonen fungerer for alle vinkler – ikke bare de i en rettvinklet trekant – og er grunnlaget for all videre trigonometri.
Vanlig feil
En vanlig feil er å tro at trigonometriske funksjoner bare er definert for vinkler mellom 0° og 90°. Faktisk er sin 120°, cos 270° og tan(−45°) alle gyldige verdier som leses av direkte fra enhetssirkelen. Noen ganger gir vinkler utenfor [0°, 90°) negative verdier – og det er helt korrekt.
Øv selv
Lett: Finn sin(180°).
Minioppsummering
- Enhetssirkelen definerer sinus og cosinus for alle vinkler, ikke bare 0°–90°.
- sin v = y-koordinaten og cos v = x-koordinaten på enhetssirkelen.
- Trigonometriske funksjoner er periodiske med periode 360° (2π rad).
- Fortegnet til sin og cos avhenger av hvilken kvadrant vinkelen er i.