10.4 Sinuslikninger
Intro
Sinuslikninger dukker opp i alt fra lydanalyse til tidevannsberegning. Nøkkelen er å forstå at sinus er periodisk og symmetrisk: de fleste sinuslikninger har to løsninger i hvert periode-intervall. Symmetrien om toppen ved 90° betyr at sin(v) = sin(180° − v), og det er dette som gir opphav til den andre løsningen. Å finne alle løsninger krever systematisk bruk av periodisitet.
Regel
- Hvis sin v = k, finn grunnvinkelen v₀ = arcsin(k)
- Løsning 1: v = v₀ + n · 360°
- Løsning 2: v = 180° − v₀ + n · 360°
- Gyldighetsområde for arcsin: −1 ≤ k ≤ 1
- Symmetri: sin(180° − v) = sin v
- I et avgrenset intervall: sjekk alltid om begge løsningene er innenfor
Eksempel
sin v = 0.5
- Vi ønsker å løse sin v = 0,5 i intervallet [0°, 360°).
- Beregn grunnvinkelen: v₀ = arcsin(0,5) = 30°.
- Løsning 1: v = 30°.
- Løsning 2 (bruk symmetrien om 90°): v = 180° − 30° = 150°.
- Begge løsninger er i intervallet: v = 30° eller v = 150°.
Svar: 30eller150
Forstå
Siden sinusgrafen er symmetrisk om toppen ved 90°, er det alltid to vinkler i intervallet [0°, 360°) som gir samme sinusverdi (unntatt ±1). Den ene finner du med arcsin, og den andre beregnes som 180° minus den første. Husk periodisiteten: legg til n · 360° for å finne alle løsninger over hele tallinja.
Vanlig feil
Den hyppigste feilen er å ta bare én løsning og glemme den andre. Når sin v = 0,5, er svarene 30° OG 150°. Mange skriver bare 30° og mister halvparten av poengene. Husk alltid å sjekke symmetrien sin(180° − v) = sin v og angi begge løsningene.
Øv selv
Lett: Løs sin(v)=0 i intervallet [0°, 360°).
Minioppsummering
- Sinuslikninger har som regel to løsninger i hvert periode-intervall [0°, 360°).
- Grunnvinkelen finnes med arcsin, og den andre løsningen er 180° minus grunnvinkelen.
- For alle løsninger legger du til n · 360° (der n er et heltall).
- Sjekk alltid at løsningene er innenfor det oppgitte intervallet.