10.5 Cosinuslikninger
Intro
Cosinuslikninger oppstår blant annet i vektorregning, optikk og signalbehandling. I motsetning til sinus er cosinus symmetrisk om y-aksen (v = 0°), noe som betyr at de to løsningene er +v₀ og −v₀. Det er avgjørende å huske minusvarianten, siden det er en lett feil å overse. Systematisk fremgangsmåte sikrer at alle løsninger blir funnet.
Regel
- Hvis cos v = k, finn grunnvinkelen v₀ = arccos(k)
- Løsning 1: v = v₀ + n · 360°
- Løsning 2: v = −v₀ + n · 360°
- Gyldighetsområde for arccos: −1 ≤ k ≤ 1
- Symmetri: cos(−v) = cos v
- I intervallet [0°, 360°): løsningene er v₀ og 360° − v₀
Eksempel
cos v = 0.5
- Vi ønsker å løse cos v = 0,5 i intervallet [0°, 360°).
- Beregn grunnvinkelen: v₀ = arccos(0,5) = 60°.
- Løsning 1: v = 60°.
- Løsning 2 (bruk symmetrien cos(−v) = cos v): v = 360° − 60° = 300°.
- Begge løsninger er i intervallet: v = 60° eller v = 300° (dvs. −60°).
Svar: 60eller−60
Forstå
Cosinus er symmetrisk om v = 0°, det vil si at cos(v) = cos(−v). Et krav cos v = k gir derfor alltid to vinkler med samme absolutte verdi men ulikt fortegn. I intervallet [0°, 360°) er de to løsningene v₀ og 360° − v₀, der v₀ = arccos(k). Legger du til n · 360° får du alle løsninger.
Vanlig feil
En klassisk feil er å glemme den negative løsningen. Når cos v = 0,5, er svarene 60° OG 300° (eller −60°). Mange skriver bare 60° og mister den andre løsningen. Bruk alltid symmetrien cos(−v) = cos v og sjekk begge løsningene i oppgavens intervall.
Øv selv
Lett: Løs cos(v)=1 i intervallet [0°, 360°).
Minioppsummering
- Cosinuslikninger har som regel to løsninger i intervallet [0°, 360°).
- Grunnvinkelen finnes med arccos, og den andre løsningen er 360° minus grunnvinkelen.
- Symmetriformelen cos(−v) = cos v er nøkkelen til å finne begge løsninger.
- Sjekk alltid om løsningene ligger innenfor det oppgitte intervallet.