10.6 Likninger med tangens
Intro
Tangens er den tredje trigonometriske funksjonen, og den oppfører seg annerledes enn sinus og cosinus. Den er periodisk med periode 180° og har vertikale asymptoter der cosinus er null. Tangenslikninger gir uendelig mange løsninger, og det er viktig å uttrykke dem på generell form. Perioden er halvparten av sinus og cosinus, noe som gjør løsningsstrukturen litt annerledes.
Regel
- tan v = sin v / cos v
- Periode: 180° (eller π rad)
- Hvis tan v = k, er grunnvinkelen v₀ = arctan(k)
- Generell løsning: v = v₀ + n · 180°, der n ∈ ℤ
- Tangens er udefinert når cos v = 0, dvs. v = 90° + n · 180°
- arctan gir alltid verdier i intervallet (−90°, 90°)
Eksempel
tan v = 1
- Vi ønsker å løse tan v = 1 i generell form.
- Beregn grunnvinkelen: v₀ = arctan(1) = 45°.
- Tangens har periode 180°, så vi legger til n · 180°.
- Generell løsning: v = 45° + n · 180°, der n ∈ ℤ.
- Eksempler på løsninger: v = 45°, 225°, −135°, −315°, ...
Svar: 45+k180
Forstå
Tangens har kun periode 180°, halvparten av perioden til sinus og cosinus. Det skyldes at fortegnet til sin og cos endres i takt: begge skifter fortegn mellom to kvadranter, slik at brøken sin/cos gjentar seg hvert halvt omløp. Asymptoter oppstår der cos v = 0, og tangensfunksjonen «hopper» fra +∞ til −∞ ved disse punktene.
Vanlig feil
En typisk feil er å tro at tangenslikninger kun har én løsning, eller at perioden er 360° som for sinus og cosinus. Tangens har periode 180°, så løsningene er tettere pakket: arctan(k) + n · 180° for alle heltall n. Å skrive bare 45° når svaret er 45° + n · 180° vil gi et ufullstendig svar.
Øv selv
Lett: Finn tan(30°).
Minioppsummering
- Tangenslikninger har én løsning per periode, og perioden er 180° (π rad).
- Generell løsning: v = arctan(k) + n · 180° for alle heltall n.
- Tangens er udefinert ved v = 90° + n · 180° (asymptoter).
- arctan gir alltid en grunnvinkel mellom −90° og 90°.