10.7 Enhetsformelen og andregradslikninger

Til kapittel 10

Intro

Enhetsformelen sin²v + cos²v = 1 er den mest grunnleggende identiteten i trigonometri og stammer direkte fra Pythagoras' setning anvendt på enhetssirkelen. Identiteten brukes til å omforme trigonometriske likninger som inneholder både sinus og cosinus, slik at alt kan uttrykkes i én funksjon. Dette gjør ligningene løsbare som vanlige andregradslikninger.

Regel

  • sin²v + cos²v = 1
  • sin²v = 1 − cos²v
  • cos²v = 1 − sin²v
  • Erstatt én funksjon med den andre for å få én variabel
  • Resulterer ofte i en andregradslikning i sin v eller cos v
  • Husk: sin²v betyr (sin v)², aldri sin(v²)

Eksempel

sin²x=1

  • Vi har likningen sin²x = 1 og ønsker å finne alle løsninger.
  • Bruk kvadratroten: sin²x = 1 betyr sin x = ±1.
  • Finn x slik at sin x = 1: x = 90° + n · 360°.
  • Finn x slik at sin x = −1: x = 270° + n · 360° (dvs. −90° + n · 360°).
  • Alle løsninger samlet: x = 90° + n · 180°, der n ∈ ℤ.

Svar: 90°+n·180°

Forstå

Identiteten sin²v + cos²v = 1 er Pythagoras' setning for punkter på enhetssirkelen, siden x² + y² = r² = 1. Når en trigonometrisk likning inneholder begge funksjonene, erstatter du den ene med den andre ved hjelp av identiteten. Da sitter du igjen med en ren andregradslikning i én trigonometrisk funksjon, som løses med kjente metoder.

Vanlig feil

En vanlig feil er å glemme ±-tegnet når man tar kvadratroten: sin²x = k gir sin x = ±√k, ikke bare +√k. For eksempel gir sin²x = 1 løsningene sin x = 1 OG sin x = −1, og dermed to sett med vinkler. Mange ser bare den positive løsningen og mister halvparten av svaret.

Øv selv

Lett: Skriv cos²(v) ved hjelp av sin(v).

Minioppsummering

  • Enhetsformelen sin²v + cos²v = 1 er Pythagoras' setning på enhetssirkelen.
  • Den brukes til å erstatte én trigonometrisk funksjon med en annen og forenkle likninger.
  • Resulterer ofte i andregradslikninger som løses med kjente algebraiske metoder.
  • Husk alltid ±-tegnet når du tar kvadratroten av et trigonometrisk ledd.
← Tilbake
2sin²x − 1 = 0

Les likningen som andregrad i sin²x; flytt +1 og del med 2.

Se etter

sin²-ledd

Sjekk

andregrad i sin²

Retning

isoler sin²x

Konstant over på høyre side — klar for kvadratrot neste trinn.

sin²x = ½
Metode = isolering

Samme mønster som annengrad: isoler — rot — tolke.

Regel
Enhetsformelen sin²x + cos²x = 1 brukes når du trenger å bytte til én variabel.
Kjerneidé
Andregrad i sin²: isoler først, rot deretter — med ±.
Vanlig feil
Å glemme å flytte konstantleddet før du tar rot.
Frem →