10.8 Trigonometriske formler
Intro
Trigonometriske identiteter er matematiske likheter som alltid er sanne for alle tillatte vinkler. De brukes til å forenkle kompliserte uttrykk, løse likninger som ellers virker uoverkommelige, og er uunnværlige i avansert kalkulus og ingeniørfag. Å kjenne de viktigste identitetene gir deg kraftige verktøy for videre matematikk og naturvitenskapelige fag.
Regel
- Pythagoras: sin²v + cos²v = 1
- Dobbeltvinkel: sin(2v) = 2 sin v cos v
- Dobbeltvinkel: cos(2v) = cos²v − sin²v = 1 − 2sin²v = 2cos²v − 1
- Addisjon: sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- Addisjon: cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan v = sin v / cos v
Eksempel
sin²x+cos²x
- Vi ønsker å bekrefte at sin²x + cos²x = 1 alltid gjelder.
- Tenk på enhetssirkelen: et punkt P har koordinater (cos x, sin x).
- Siden P er på sirkelen med radius 1: cos²x + sin²x = 1² = 1 (Pythagoras).
- Dermed er sin²x + cos²x = 1 for alle verdier av x.
- Dette er en identitet – ikke en likning vi løser, men en sannhet vi bruker.
Svar: 1
Forstå
Trigonometriske identiteter er ikke tilfeldige regler – de er konsekvenser av geometrien på enhetssirkelen. Addisjons- og dobbeltvinkelformlene gjør det mulig å beregne trigonometriske verdier for sammensatte vinkler, og de brukes flittig i integrasjon, derivasjon og bevis. Å kjenne Pythagoras-identiteten er spesielt viktig for å omforme uttrykk.
Vanlig feil
En vanlig feil er å bruke identitetene feil vei – for eksempel å tro at sin(A + B) = sin A + sin B. Addisjon inne i funksjonsargumentet er IKKE det samme som addisjon av funksjonsverdiene. Den korrekte formelen er sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
Øv selv
Lett: Finn sin(2v) når sin(v)=3/5 og cos(v)=4/5.
Minioppsummering
- Pythagoras-identiteten sin²v + cos²v = 1 er den viktigste og alltid sann.
- Dobbeltvinkelformlene beregner sin(2v) og cos(2v) fra enkeltvinkelverdi.
- Addisjonsformlene beregner sin og cos for summer og differanser av vinkler.
- Identiteter brukes til å forenkle uttrykk – ikke forveksle sin(A + B) med sin A + sin B.
Ser du begge leddene samlet, kan du sette inn 1 i ett steg.
Se etter
sum av kvadrater
Sjekk
samme vinkel x
Retning
erstatt med 1
Raskest når hele mønsteret allerede står i uttrykket.
Se mønster først — så velger du direkte eller baklengs.