11.5 Trigonometriske ulikheter
Intro
Trigonometriske ulikheter krever at du finner alle vinkler der en funksjon er større eller mindre enn en gitt verdi. Dette brukes blant annet til å beregne tidsintervaller der en bølge overstiger en viss styrke, eller ved optimalisering av vinkel-avhengige størrelser. Nøkkelen er å kombinere grafanalyse med kunnskap om periodisitet og finne de riktige grensepunktene.
Regel
- Tegn grafen og marker nivålinjen y = k
- For sin x > k: finn grensevinklene og bestem intervallene der grafen er over linjen
- For cos x > k: bruk symmetrien om x = 0
- For tan x > k: bruk asymptotene og finn ett grunnintervall
- Husk periodisitet: legg til n · T for alle løsningsintervaller
- Sjekk endepunktene: < gir åpent intervall, ≤ gir lukket intervall
Eksempel
sin x > 0
- Vi ønsker å løse ulikheten sin x > 0 i ett periode-intervall [0°, 360°).
- Sinusgrafen er positiv (over x-aksen) der den er stigende fra 0 og synker tilbake.
- Grensepunktene: sin x = 0 ved x = 0° og x = 180°.
- Mellom disse er sin x > 0, så løsningsintervallet i én periode er: 0° < x < 180°.
- For alle heltall n: n · 360° < x < 180° + n · 360°.
Svar: 0<x<180
Forstå
For å løse sin x > k tegner du sinusgrafen og den horisontale linjen y = k, og identifiserer x-intervallene der grafen ligger over linjen. Grensepunktene finnes med arcsin, og siden sinus er periodisk, gjentar løsningsintervallene seg med fast avstand 2π. Metoden er den samme for cosinus og tangens.
Vanlig feil
En vanlig feil er å glemme det andre intervallet. Noen tror sin x < 0 bare gjelder «rundt 270°», men faktisk er sin x < 0 for alle x i intervallet (180°, 360°) – et helt halvt omløp. Man må alltid se på hele perioden og ikke bare toppen og bunnen av grafen.
Øv selv
Lett: Løs sin(x)>0 i intervallet [0°, 360°).
Minioppsummering
- Trigonometriske ulikheter løses ved å finne intervallene der grafen er over eller under nivålinjen.
- Grensepunktene beregnes med arcsin, arccos eller arctan og avleses fra grafen.
- Periodisiteten betyr at løsningsintervallene gjentar seg med fast periode (2π eller π).
- Sjekk alltid om endepunktene er inkludert (≤/≥) eller ikke (</>) i løsningen.