11.4 Tangensfunksjonen
Intro
Tangensfunksjonen f(x) = tan x skiller seg markant fra sinus og cosinus: den er ikke begrenset til intervallet [−1, 1], og den har vertikale asymptoter der funksjonen er udefinert. Disse egenskapene gjør tangens til et nyttig verktøy i alt fra beregning av stigningsvinkel til analyse av elektriske kretser og optikk. Asymptoter og brudd er et viktig geometrisk trekk.
Regel
- f(x) = tan x = sin x / cos x
- Definisjonsmengde: alle x der cos x ≠ 0, dvs. x ≠ π/2 + n·π
- Verdiområde: alle reelle tall (−∞, ∞)
- Periode: π rad = 180°
- Vertikale asymptoter ved x = π/2 + n·π
- tan x er stigende på hvert åpent intervall der den er definert
Eksempel
tan0?
- Vi skal beregne tan 0.
- Bruk definisjonen: tan 0 = sin 0 / cos 0.
- Vi vet at sin 0 = 0 og cos 0 = 1.
- Beregn: tan 0 = 0 / 1 = 0.
- Grafen krysser x-aksen i origo, og svaret er tan 0 = 0.
Svar: 0
Forstå
Tangens er brøken sin x / cos x. Når cos x nærmer seg 0, vokser brøken mot ±∞ – dette er asymptotene. Mellom asymptotene er tangens en glatt, stigende kurve som løper fra −∞ til +∞. Perioden er π fordi fortegnene til sin og cos endres synkront, og brøken sin/cos gjentar seg hvert halvt omløp.
Vanlig feil
En vanlig feil er å tro at tangens alltid er definert. Faktisk er tan x udefinert ved x = 90°, 270°, −90° og alle andre odde multipler av 90°, fordi cos x = 0 i disse punktene. Prøver du å beregne tan 90° på kalkulator, vil du få en feilmelding eller et svært stort tall.
Øv selv
Lett: Finn tan(0).
Minioppsummering
- Tangensfunksjonen f(x) = tan x = sin x / cos x har verdiområde (−∞, ∞).
- Tangens er udefinert der cos x = 0 – disse punktene kalles vertikale asymptoter.
- Perioden er π (180°), halvparten av perioden til sinus og cosinus.
- Mellom asymptotene er tangens en stigende kurve fra −∞ til +∞.