11.3 Cosinusfunksjonen
Intro
Cosinusfunksjonen f(x) = cos x er nær beslektet med sinusfunksjonen, men er fase-forskjøvet med π/2 (90°). Den starter på maksimumsverdien 1 ved x = 0 og er derfor svært nyttig i situasjoner der fenomenet starter på toppen, for eksempel fjærbevegelse og elektriske vekselstrømmers effektberegning. Cosinus er uunnværlig i vektorer, projeksjon og fysikk.
Regel
- f(x) = cos x
- Definisjonsmengde: alle reelle tall
- Verdiområde: [−1, 1]
- Periode: 2π rad = 360°
- Maksimum: 1 ved x = n · 2π
- cos(x) = sin(x + π/2) – cosinus er sinus forskjøvet π/2 til venstre
Eksempel
cos0?
- Vi skal beregne verdien av cos 0.
- Bruk enhetssirkelen: vinkelen 0° tilsvarer punktet (1, 0) på sirkelen.
- x-koordinaten gir cosinusverdien: cos 0° = 1.
- Alternativt: cosinus starter alltid på maksimum ved x = 0.
- Svaret er cos 0 = 1.
Svar: 1
Forstå
Cosinus og sinus er nesten identiske funksjoner; den eneste forskjellen er startpunktet. Cosinus starter på maksimum 1 ved x = 0, mens sinus starter på 0. Geometrisk er cos x x-koordinaten og sin x y-koordinaten til punktet på enhetssirkelen. De er vinkelrette «speilinger» av hverandre, forskjøvet med en kvart periode.
Vanlig feil
En vanlig feil er å blande cos 0 og sin 0. Husk: cos 0 = 1 og sin 0 = 0. Cosinus starter på maksimum (1) ved x = 0, mens sinus starter i null. Mange forveksler disse fordi grafene ellers ligner hverandre grafisk og begge har samme verdiområde og periode.
Øv selv
Lett: Finn cos(0).
Minioppsummering
- Cosinusfunksjonen f(x) = cos x starter på maksimum 1 ved x = 0.
- Verdiområdet er [−1, 1] og perioden er 2π, akkurat som sinus.
- cos x = sin(x + π/2): cosinus er sinus forskyvet π/2 til venstre.
- Geometrisk er cos x x-koordinaten og sin x y-koordinaten på enhetssirkelen.