12.4 Sum, differanse og produkt av tall og vektor
Intro
Addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon av vektorer er de grunnleggende regneoperasjonene i vektorregning. Disse operasjonene brukes daglig i fysikk (å kombinere krefter), spillutvikling (bevegelse og kollisjoner) og ingeniørfag. Alle regneoperasjoner på vektorer utføres komponentvis – hver komponent behandles separat.
Regel
- Addisjon: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) – legg til komponentvis
- Subtraksjon: (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d) – trekk fra komponentvis
- Skalarmultiplikasjon: k · (a, b) = (ka, kb) – gang hvert element med skalaren k
- Negasjon: −(a, b) = (−a, −b) – snu alle fortegn
- Addisjon er kommutativ: v + u = u + v
- Addisjon er assosiativ: (v + u) + w = v + (u + w)
Eksempel
(1,2)+(3,4)
- Vi vil beregne (1, 2) + (3, 4)
- Legger x-komponentene: 1 + 3 = 4
- Legger y-komponentene: 2 + 4 = 6
- Summen er vektoren (4, 6)
- Svar: (1, 2) + (3, 4) = (4, 6)
Svar: (4,6)
Forstå
Addisjon av vektorer kan tolkes geometrisk som å sette pilene etter hverandre: vi starter med den ene vektoren og fortsetter med den andre fra dens sluttpunkt. Sumvektoren peker fra begynnelsen av den første til slutten av den andre. Skalarmultiplikasjon strekker eller komprimerer vektoren: k > 1 gjør den lengre, 0 < k < 1 gjør den kortere, og k < 0 snur retningen.
Vanlig feil
En vanlig feil er å blande komponentene – å legge x-komponenten til y-komponenten eller omvendt. Husk at komponentene behandles separat: x med x, y med y. En annen feil ved skalarmultiplikasjon er å bare gange én av komponentene: k · (a, b) = (ka, kb) – begge komponentene skal multipliseres med k, ikke bare én.
Øv selv
Lett: Regn ut (2,3)+(4,−1).
Minioppsummering
- Addisjon: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) – legg komponentvis
- Skalarmultiplikasjon: k · (a, b) = (ka, kb) – gang alle komponenter med k
- Geometrisk: addisjonen tilsvarer å sette pilene etter hverandre (tipp til hale)
- k < 0 i skalarmultiplikasjon snur vektorens retning