12.5 Koordinatformelen
Intro
Koordinatformelen for avstand er en direkte konsekvens av Pytagoras' setning og brukes til å beregne den geometriske avstanden mellom to punkter i koordinatsystemet. Den er uunnværlig i geometri, fysikk og programmering – alltid når vi trenger å vite «hvor langt er det mellom disse to punktene?» Formelen er identisk med lengden av differansevektoren mellom de to punktene.
Regel
- Avstand mellom P(x₁, y₁) og Q(x₂, y₂): d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- Formelen er symmetrisk: d(P, Q) = d(Q, P) – rekkefølge spiller ingen rolle for selve avstanden
- Spesialtilfelle: avstand fra origo til (x, y) er √(x² + y²)
- Koordinatformelen er identisk med lengden av vektoren PQ→: d = |PQ→|
- I 3D: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
- Differansene kvadreres – negative fortegn forsvinner, og rekkefølgen på subtraksjonen er uviktig
Eksempel
(0,0)−(3,4)
- Vi vil finne avstanden mellom P(0, 0) og Q(3, 4)
- Bruker koordinatformelen: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- Setter inn: d = √((3 − 0)² + (4 − 0)²) = √(9 + 16)
- d = √25 = 5
- Svar: Avstanden mellom P og Q er 5 enheter – et klassisk 3−4−5-eksempel
Svar: 5
Forstå
Koordinatformelen bygger på Pytagoras: de to punktene danner to hjørner i en rettvinklet trekant, der katetene er den horisontale avstanden |x₂ − x₁| og den vertikale avstanden |y₂ − y₁|. Hypotenusen – den rette linjen mellom de to punktene – er den vi vil finne. Siden vi kvadrerer differansene, spiller det ingen rolle om de er negative.
Vanlig feil
En vanlig feil er å glemme å kvadrere differansene og i stedet skrive d = (x₂ − x₁) + (y₂ − y₁). Den riktige formelen krever kvadrering: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). En annen feil er å ta kvadratrøttene av hvert ledd separat og legge dem sammen: √a + √b ≠ √(a + b) – kvadratroten tas etter at begge leddene er summert.
Øv selv
Lett: Finn avstanden mellom P(0,0) og Q(6,8).
Minioppsummering
- Avstand: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) – direkte fra Pytagoras
- Formelen er symmetrisk: d(P, Q) = d(Q, P)
- Kvadrering fjerner negative fortegn – rekkefølgen på subtraksjonen er uviktig
- Koordinatformelen er lik lengden av differansevektoren PQ→