13.3 Ortogonale vektorer
Intro
Ortogonale vektorer er vektorer som står vinkelrett på hverandre (90°). Ortogonalitet er et sentralt begrep i geometri, lineær algebra og fysikk – vinkelrette krefter, koordinatakser og ortogonale baser er alle eksempler på dette konseptet. Testen er elegant: to vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.
Regel
- v og u er ortogonale ⟺ v · u = 0
- Ortogonal betyr vinkelrett, dvs. vinkelen mellom vektorene er 90°
- Test med koordinatformelen: (a, b) · (c, d) = ac + bd = 0 ⟺ ortogonale
- Koordinataksene er ortogonale: î · ĵ = (1, 0)·(0, 1) = 0
- En vektor ortogonal til (a, b) kan konstrueres som (−b, a) (roter 90° mot klokka)
- Ortogonalitet kombinert med enhetslengde |v| = 1 gir ortonormalitet
Eksempel
(1,0) og (0,1)
- Vi vil avgjøre om v = (1, 0) og u = (0, 1) er ortogonale
- Beregner skalarproduktet med koordinatformelen: v · u = 1·0 + 0·1
- v · u = 0 + 0 = 0
- Siden skalarproduktet er 0, er vektorene ortogonale
- Svar: Ja, (1, 0) og (0, 1) er ortogonale – de er x- og y-aksene i koordinatsystemet
Svar: ja
Forstå
Skalarproduktet v · u = |v||u|cos(θ) er null kun når cos(θ) = 0, altså når θ = 90°. Det er nettopp dette vi utnytter i ortogonalitetstesten: i stedet for å finne selve vinkelen, trenger vi bare å sjekke om skalarproduktet er null. Geometrisk betyr to ortogonale vektorer at de to pilene danner en rett vinkel – akkurat som x-aksen og y-aksen i koordinatsystemet.
Vanlig feil
En vanlig feil er å forsøke å avgjøre ortogonalitet «med øyemålet» ved å se på vektortegningen i stedet for å beregne skalarproduktet. Det er skalarproduktet = 0 som er det matematisk korrekte kriteriet. En annen feil er å konkludere at vektorene er ortogonale bare fordi én av komponentene er null – for eksempel er (1, 1) og (0, 1) ikke ortogonale: (1,1)·(0,1) = 0 + 1 = 1 ≠ 0.
Øv selv
Lett: Er (1,0) og (0,1) ortogonale?
Minioppsummering
- v og u er ortogonale ⟺ v · u = ac + bd = 0
- Ortogonal betyr vinkelrett: vinkelen mellom vektorene er 90°
- Test: beregn skalarproduktet – er det null, er vektorene vinkelrette
- Vektor ortogonal til (a, b) kan konstrueres som (−b, a)