13.4 Regneregler for skalarproduktet

Til kapittel 13

Intro

Regnereglene for skalarproduktet er algebraiske lover som gjør det mulig å forenkle og manipulere vektoruttrykk systematisk. Disse reglene er analoge med regnereglene for vanlige tall, men med noen viktige unntak. Å beherske regnereglene er grunnleggende for å løse problemer i lineær algebra og for å forstå matriser og lineære avbildninger.

Regel

  • Kommutativ lov: v · u = u · v (rekkefølge spiller ingen rolle for skalarproduktet)
  • Distributiv lov: v · (u + w) = v · u + v · w (skalarproduktet fordeles over addisjon)
  • Assosiativ med skalar: (k · v) · u = k · (v · u) = v · (k · u)
  • v · v = |v|² (skalarproduktet av en vektor med seg selv er kvadratet av dens lengde)
  • v · 0 = 0 (skalarproduktet med nullvektoren er alltid 0)
  • Merk: Skalarproduktet er IKKE assosiativt for tre vektorer – (v · u) er et tall, ikke en vektor

Eksempel

v·u = u·v?

  • Vi vil verifisere at skalarproduktet er kommutativt: v · u = u · v
  • La v = (1, 2) og u = (3, 4)
  • v · u = 1·3 + 2·4 = 3 + 8 = 11
  • u · v = 3·1 + 4·2 = 3 + 8 = 11
  • Svar: v · u = u · v = 11 – kommutativloven for skalarproduktet er bekreftet

Svar: ja

Forstå

De fleste regnereglene for skalarproduktet ligner på de for vanlige tall – additivitet og skaleringsegenskaper er de samme. Den viktigste forskjellen er at skalarproduktet ikke er assosiativt for tre vektorer: man kan ikke skrive v · u · w siden (v · u) er et tall, og tall · vektor er skalarmultiplikasjon, ikke skalarprodukt. Symmetrien v · u = u · v gjør skalarproduktet til en symmetrisk bilineærform.

Vanlig feil

En vanlig feil er å tro at skalarproduktet er assosiativt og skrive (v · u) · w som om dette var et skalarprodukt mellom tre vektorer. (v · u) er imidlertid et tall, og et tall kan ikke «skalarformeres» med en vektor på samme måte – resultatet ville bli skalarmultiplikasjon. Man kan heller ikke bruke skalarproduktet til å «kansellere» vektorer: v · u = v · w betyr IKKE at u = w.

Øv selv

Lett: Gjelder v·u = u·v?

Minioppsummering

  • Kommutativ lov: v · u = u · v – rekkefølgen av vektorene spiller ingen rolle
  • Distributiv lov: v · (u + w) = v · u + v · w
  • v · v = |v|² – skalarproduktet av en vektor med seg selv er lengden i annen
  • Skalarproduktet er IKKE assosiativt for tre vektorer
← Tilbake
u·v = (2,3)·(4,1)

Vi regner venstre side helt ferdig før vi bytter rekkefølge.

Se etter

koordinatpar

Regn

2·4 + 3·1

Svar

11

Nå har vi én referanseverdi å sammenligne med.

u·v = 2·4 + 3·1 = 11
Resultat = 11

Bruk samme mønster: regn, bytt, sammenlign.

Regel
Skalarprodukt regnes koordinatvis: (a,b)·(c,d) = ac + bd.
Kjerneidé
Én tydelig regning først gjør sammenligningen enkel.
Vanlig feil
Å blande koordinater på kryss i stedet for å pare første med første.
Frem →