13.5 Parameterframstillinger
Intro
Parameterframstilling er en elegant måte å beskrive linjer og kurver på ved hjelp av en variabel – parameteren t. I stedet for å bruke ligningen y = ax + b, beskrives linjen som en bevegelse fra et startpunkt i en gitt retning. Parameterframstillinger er uunnværlige i kurvegeometri, animasjon, robotikk og overalt der vi ønsker å beskrive kontinuerlig bevegelse matematisk.
Regel
- Parameterframstilling for en linje: r(t) = a + t · v, der a er startpunktet og v er retningsvektoren
- t er parameteren (fri variabel) – ulike verdier av t gir ulike punkter på linjen
- t = 0 gir startpunktet a; t = 1 gir punktet a + v
- Retningsvektoren v bestemmer linjens retning og kan skaleres fritt uten å endre linjen
- Koordinatvis: r(t) = (a₁ + t·v₁, a₂ + t·v₂) – hver koordinat er en lineær funksjon av t
- Fra to punkter P og Q: bruk a = P og v = PQ→ = Q − P som retningsvektor
Eksempel
Start (1,1), v=(2,0)
- Vi vil skrive parameterframstillingen for linjen gjennom (1, 1) med retningsvektor v = (2, 0)
- Startpunktet er a = (1, 1) og retningsvektoren er v = (2, 0)
- Parameterframstillingen: r(t) = (1, 1) + t · (2, 0)
- Koordinatvis: r(t) = (1 + 2t, 1 + 0·t) = (1 + 2t, 1)
- Svar: r(t) = (1, 1) + t · (2, 0) – dette er en horisontal linje gjennom y = 1
Svar: r=(1,1)+t(2,0)
Forstå
Parameterframstillingen r(t) = a + t · v tenker på t som «tid»: ved t = 0 er vi i startpunktet a, og for hvert tidsskritt øker vi posisjonen med retningsvektoren v. Negative verdier av t gir punkter «bakover» på linjen. Sammenliknet med y = ax + b er parameterframstillingen mer fleksibel – den fungerer for vertikale linjer (der stigningstallet er udefinert) og generaliseres enkelt til 3D.
Vanlig feil
En vanlig feil er å blande startpunktet a og retningsvektoren v – a er et punkt (en posisjon), mens v er en vektor (en retning og lengde). En annen feil er å tro at det finnes én entydig parameterframstilling for en gitt linje – det er faktisk uendelig mange gyldige framstillinger: enhver skalering av v og ethvert startpunkt på linjen gir en ekvivalent framstilling.
Øv selv
Lett: Hva er parameteren i r(t)=a+t·v?
Minioppsummering
- Parameterframstilling: r(t) = a + t · v, der a er startpunkt og v er retningsvektor
- t = 0 gir startpunktet; ulike t-verdier gir alle punktene på linjen
- Koordinatvis: r(t) = (a₁ + t·v₁, a₂ + t·v₂)
- Fra to punkter P og Q: bruk a = P og v = Q − P som retningsvektor