13.6 Regning med parameterframstillinger

Til kapittel 13

Intro

Å sette inn konkrete verdier for parameteren t i en parameterframstilling er det praktiske verktøyet for å finne spesifikke punkter på en linje. Denne teknikken er sentral i analytisk geometri og brukes til å finne skjæringspunkter mellom linjer, kontrollere om et punkt ligger på en linje, og beregne posisjoner i animasjoner og simuleringer.

Regel

  • Sett inn ønsket verdi for t i r(t) = a + t · v for å finne det tilsvarende punktet
  • t = 0 gir alltid startpunktet a
  • t = 1 gir punktet a + v (ett skritt i retningsvektorens retning fra startpunktet)
  • For å sjekke om P ligger på linjen: løs r(t) = P for t; hvis løsning finnes, er P på linjen
  • Skjæringspunkt mellom to linjer r₁(t) og r₂(s): sett r₁(t) = r₂(s) og løs for t og s
  • Negativ t gir punktet «bakover» fra startpunktet (i motsatt retning av v)

Eksempel

t=2

  • Vi har linjen r(t) = (1, 2) + t · (3, 1) og vil finne punktet for t = 2
  • Setter inn t = 2: r(2) = (1, 2) + 2 · (3, 1)
  • Beregner: 2 · (3, 1) = (6, 2)
  • r(2) = (1, 2) + (6, 2) = (1 + 6, 2 + 2) = (7, 4)
  • Svar: t = 2 gir punktet (7, 4) på linjen

Svar: (7,4)

Forstå

Å sette inn t i parameterframstillingen er som å spørre «Hvor er vi etter t tidsenheter?» For r(t) = a + t · v starter vi i a og beveger oss t ganger i retningen v. Ulike verdier av t tilsvarer ulike punkter på linjen: t kan være hvilken som helst reell verdi, og for hvert t får vi et unikt punkt på linjen.

Vanlig feil

En vanlig feil er å sette inn t i bare én av koordinatene og glemme den andre. Husk at t settes inn i alle koordinatene simultant: r(t) = (a₁ + t·v₁, a₂ + t·v₂). En annen feil er å tro at t = 0 alltid gir origo – t = 0 gir alltid startpunktet a, som bare er origo dersom a = (0, 0).

Øv selv

Lett: For r(t)=(1,2)+t(3,1), finn r(0).

Minioppsummering

  • Sett inn ønsket t-verdi i r(t) = a + t · v for å beregne et punkt på linjen
  • t = 0 gir startpunktet a; t = 1 gir a + v
  • Sjekk om punkt P er på linjen ved å løse r(t) = P for t
  • Negativ t gir punkter i motsatt retning av retningsvektoren v
← Tilbake
r(t) = (1,2) + t(3,1), t=2

Her er t tid/parameter som bestemmer punktet på linjen.

Se etter

a=(1,2)

Sjekk

v=(3,1)

Valg

sett inn t=2

Når modell og t er valgt, regner vi koordinatvis.

r(2)=(1,2)+2(3,1)
Resultat = innsetting klar

Tretrinns flyt: identifiser, regn, konkluder.

Regel
Parameterlinje: r(t) = a + t·v.
Kjerneidé
Først identifiser a, v og t før regning.
Vanlig feil
Å blande startpunkt og retningsvektor.
Frem →