13.7 Rettlinjet bevegelse
Intro
Rettlinjet bevegelse beskriver et objekt som beveger seg langs en rett linje med konstant hastighet. Dette er en av de grunnleggende bevegelsesformene i mekanikk og er utgangspunktet for forståelse av mer komplisert bevegelse. Parameterframstillingen r(t) = a + t · v er det naturlige matematiske verktøyet: a er startposisjonen, v er hastighetsvektoren, og t er tid.
Regel
- Posisjon ved tid t: r(t) = a + t · v, der a er startposisjon og v er hastighetsvektoren
- Farten (hastighetens størrelse) er konstant og lik |v|
- r(0) = a er startposisjonen ved t = 0
- Retningsvektoren v angir bevegelsesretningen; |v| angir farten
- Tilbakelagt avstand på tid t: s = |v| · t
- For å finne når objektet er i et bestemt punkt P: løs a + t · v = P for t
Eksempel
Posisjon ved t=2?
- Et objekt starter i (2, 1) og beveger seg med hastighetsvektor v = (3, 2). Finn posisjonen ved t = 2
- Parameterframstillingen er r(t) = (2, 1) + t · (3, 2)
- Setter inn t = 2: r(2) = (2, 1) + 2 · (3, 2) = (2, 1) + (6, 4)
- r(2) = (2 + 6, 1 + 4) = (8, 5)
- Svar: Objektet er i posisjon (8, 5) ved tid t = 2
Svar: (8,5)
Forstå
I rettlinjet bevegelse er parameteren t tid, og vektoren v er hastigheten – den forteller oss både hvor fort og i hvilken retning objektet beveger seg. Posisjonen r(t) = a + t · v øker lineært med tid: for hvert tidsskritt Δt flyttes objektet distansen |v|·Δt i retningen v. Matematisk er bevegelse i en rett linje identisk med å traversere en parameterframstilt linje over tid.
Vanlig feil
En vanlig feil er å forveksle hastighetsvektoren v (retning og fart) med farten |v| (bare størrelse). Hastighetsvektoren v forteller oss i hvilken retning objektet beveger seg og med hvilken fart – |v| er bare fartens størrelse uten retningsinformasjon. En annen feil er å tro at posisjonsvektoren r(t) er hastighetsvektoren – r(t) beskriver posisjonen, mens v er hastigheten (endringen i posisjon per tidsenhet).
Øv selv
Lett: Hva er startposisjonen i r(t)=a+t·v?
Minioppsummering
- Rettlinjet bevegelse: r(t) = a + t · v, der a er startposisjon og v er hastighetsvektor
- Farten er |v| (konstant); retningen er gitt av v
- r(0) = a er startposisjonen; r(t) øker lineært med tid
- Tilbakelagt avstand etter tid t er |v| · t