14.8 Rette linjer i rommet
Intro
En rett linje i rommet kan ikke beskrives med én enkel likning slik som i 2D. I stedet bruker vi en parameterframstilling: vi angir ett punkt på linjen og en retningsvektor, og varierer en parameter t for å nå alle punkter langs linjen. Linjer i 3D er sentrale i romgeometri, kinematikk (bevegelseslære) og datagrafikk for å beregne skjæringer og avstander.
Regel
- Parameterform: r(t) = a + t·v, der a er et punkt og v er retningsvektoren
- Komponentform: x = a₁ + t·v₁, y = a₂ + t·v₂, z = a₃ + t·v₃
- Retningsvektoren v bestemmer linjens retning i rommet
- Ulike verdier av t gir ulike punkter på linjen; t = 0 gir startpunktet a
- Symmetrisk form: (x−a₁)/v₁ = (y−a₂)/v₂ = (z−a₃)/v₃ (forutsatt v₁,v₂,v₃ ≠ 0)
- To linjer i 3D kan enten skjære hverandre, være parallelle, eller være skeive (hverken parallelle ei skjærende)
Eksempel
Hva trengs?
- Vi skal sette opp parameterframstillingen for en linje gjennom A = (1, 2, 0) med retning v = (3, −1, 2).
- Startpunktet a = (1, 2, 0) og retningsvektoren v = (3, −1, 2) er gitt.
- Parameterframstillingen er: r(t) = (1, 2, 0) + t·(3, −1, 2).
- Komponentvis: x = 1 + 3t, y = 2 − t, z = 0 + 2t.
- For eksempel gir t = 1 punktet (4, 1, 2), og t = −1 gir (−2, 3, −2) – begge på linjen.
Svar: punktogretning
Forstå
Tenk på t som tid. Startpunktet a er posisjonen ved t = 0. For hvert sekund som går, beveger du deg v enheter langs retningsvektoren. Negative t-verdier gir punkter 'bak' startpunktet, positive t-verdier gir punkter 'foran'. På denne måten dekker parameterfremstillingen hele den uendelige linjen.
Vanlig feil
En vanlig feil er å oppgi bare et punkt uten retningsvektoren, eller bare retningsvektoren uten et fast punkt. Begge deler er nødvendige: punktet forankrer linjen i rommet, og retningsvektoren bestemmer hvilken vei linjen går. Uten begge kan du ikke beskrive en unik linje i 3D.
Øv selv
Lett: Hva trenger du for å beskrive en linje i rommet med parameterform?
Minioppsummering
- En linje i rommet beskrives med parameterframstillingen r(t) = a + t·v.
- a er et fast punkt på linjen og v er retningsvektoren – begge er nødvendige.
- Parameteren t spenner over alle reelle tall og gir alle punkter på den uendelige linjen.
- To linjer i 3D kan skjære hverandre, være parallelle, eller være skeive (ikke i samme plan).