14.9 Parameterframstilling for et plan
Intro
En linje i rommet trenger én retningsvektor, men et plan trenger to – fordi et plan strekker seg i to uavhengige retninger. Parameterframstillingen for et plan bruker to parametere (s og t) og to retningsvektorer for å beskrive alle punkter i planet. Denne formen er spesielt nyttig i datagrafikk, elementmetoden i ingeniørfag og overflatemodellering.
Regel
- Parameterform for plan: r(s,t) = a + s·u + t·v
- a er et fast punkt i planet; u og v er to ikke-parallelle retningsvektorer i planet
- s og t er reelle parametere som varierer fritt og uavhengig
- Normalvektoren til planet finnes som n = u×v (kryssproduktet)
- Alle punkt r(s,t) tilfredsstiller planligningen med normalvektor n
- u og v må ikke være parallelle (da vil de bare beskrive en linje, ikke et plan)
Eksempel
Hva trengs?
- Vi skal sette opp parameterframstillingen for planet gjennom A = (1, 0, 0) med retningsvektorer u = (1, 1, 0) og v = (0, 1, 1).
- Startpunktet a = (1, 0, 0) og retningsvektorene u og v er valgt slik at de ikke er parallelle.
- Parameterframstillingen er: r(s,t) = (1,0,0) + s·(1,1,0) + t·(0,1,1).
- Komponentvis: x = 1+s, y = s+t, z = t.
- Normalvektoren er n = u×v = (1,1,0)×(0,1,1) = (1·1−0·1, 0·0−1·1, 1·1−1·0) = (1,−1,1).
Svar: to
Forstå
Mens en linje bare trenger én 'bevegelsesretning' (én parameter t), trenger et plan to uavhengige bevegelsesretninger. Tenk på et bord: du kan bevege deg langs bordets lengde (vektor u) og langs bordets bredde (vektor v) – til sammen dekker disse to retningene hele bordflaten. Parameterene s og t angir hvor langt du beveger deg i hver retning.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å bruke bare én retningsvektor og dermed beskrive en linje i stedet for et plan. Et plan krever to lineært uavhengige (ikke-parallelle) retningsvektorer. En annen feil er å bruke vektorer som tilfeldigvis er parallelle (f.eks. (1,0,0) og (2,0,0)), noe som ikke spenner ut et plan.
Øv selv
Lett: Hvor mange retningsvektorer trengs i en parameterframstilling av et plan?
Minioppsummering
- Parameterframstillingen for et plan er r(s,t) = a + s·u + t·v, med to uavhengige retningsvektorer.
- a er et fast punkt i planet; s og t er frie parametere som dekker hele planflaten.
- u og v må ikke være parallelle – ellers er de ikke i stand til å spenne ut et plan.
- Normalvektoren til planet finnes ved kryssproduktet: n = u×v.