15.3 Aritmetiske følger
Intro
En aritmetisk følge er en tallfølge der differansen mellom to påfølgende ledd alltid er den samme. Denne konstante økningen (eller minskningen) kalles differansen d. Aritmetiske følger modellerer lineær vekst og er svært nyttige i økonomi (faste avdrag), fysikk (jevn akselerasjon) og dagligliv (timeplan med faste intervaller). De er den enkleste og mest intuitive typen tallfølge.
Regel
- Det n-te leddet: aₙ = a₁ + (n−1)·d
- Differansen: d = aₙ − aₙ₋₁ (konstant for alle n)
- Positivt d: følgen er stigende; negativt d: følgen er synkende
- Gjennomsnittet av første og siste ledd: (a₁ + aₙ)/2
- Eksempel: 3, 7, 11, 15, ... har d = 4 og a₁ = 3
- aₙ = a₁ + (n−1)·d kan omskrives til aₙ = dn + (a₁ − d), som er lineær i n
Eksempel
2,4,6
- Vi identifiserer følgen 2, 4, 6, 8, ... som aritmetisk.
- Beregn differansen: d = 4 − 2 = 2 (og 6 − 4 = 2 – bekrefter konstant differanse).
- Første ledd er a₁ = 2 og d = 2.
- Formelen for det n-te leddet: aₙ = 2 + (n−1)·2 = 2 + 2n − 2 = 2n.
- Sjekk: a₁ = 2·1 = 2 ✓, a₂ = 2·2 = 4 ✓, a₃ = 2·3 = 6 ✓.
Svar: 2
Forstå
En aritmetisk følge vokser (eller minsker) med et fast steg d for hvert ledd. Grafen av leddene (plottet mot indeksen n) er alltid en rett linje – akkurat som en lineær funksjon. Differansen d tilsvarer stigningstallet: stor d gir bratt stigning, liten d gir slak stigning.
Vanlig feil
En vanlig feil er å beregne feil differanse ved å se på ikke−påfølgende ledd. Differansen d skal alltid beregnes mellom to ledd som er rett etter hverandre: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ osv. En annen feil er å bruke n i stedet for (n−1) i formelen: aₙ = a₁ + n·d gir feil svar – det riktige er aₙ = a₁ + (n−1)·d.
Øv selv
Lett: Finn differansen d i følgen 5,8,11,...
Minioppsummering
- En aritmetisk følge har konstant differanse d mellom hvert par av påfølgende ledd.
- Det n-te leddet beregnes med formelen aₙ = a₁ + (n−1)·d.
- Grafisk tilsvarer aritmetiske følger lineær vekst – leddene ligger på en rett linje.
- Differansen d bestemmes ved å trekke ett ledd fra det neste: d = a₂ − a₁.
Se etter
7-3
Sjekk
11-7
Retning
d = 4
Aritmetisk følge har konstant differanse
Samme d mellom naboledd i hele folgen.