15.4 Aritmetiske rekker

Til kapittel 15

Intro

En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge. Det å summere mange ledd for hånd er tidkrevende, men matematikeren Gauss oppdaget en elegant formel allerede som barn: summen av 1 til 100 er 100·101/2 = 5050. Denne innsikten – at du kan pare opp ledd fra start og slutt – gir oss en rask formel for alle aritmetiske rekker, nyttig i økonomi, statistikk og kombinatorikk.

Regel

  • Sumformelen: Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ)
  • Alternativ form: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d)
  • n er antall ledd, a₁ er første ledd, aₙ er siste ledd, d er differansen
  • Gauss-trikset: par opp første og siste ledd (summen er alltid lik a₁ + aₙ)
  • Det er n/2 slike par, derav faktoren n/2 i formelen
  • Sjekk: Sₙ = n · gjennomsnitt av første og siste ledd

Eksempel

1+2+3

  • Vi skal beregne summen 1 + 2 + 3 med den aritmetiske sumformelen.
  • Her er a₁ = 1, aₙ = a₃ = 3 og n = 3.
  • Bruk formelen: Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) = 3/2·(1 + 3) = 3/2·4 = 6.
  • Alternativt kan vi sjekke med alternativ form: S₃ = 3/2·(2·1 + (3−1)·1) = 3/2·4 = 6.
  • Summen er S₃ = 6, som stemmer med direkte addisjon: 1+2+3 = 6.

Svar: 6

Forstå

Gauss oppdaget at 1+2+3+...+100 kan omskrives som 50 par der hvert par summerer til 101: (1+100), (2+99), (3+98), ... Formelen Sₙ = n/2·(a₁+aₙ) er akkurat dette – multipliser antall par (n/2) med summen til hvert par (a₁+aₙ). Alternativt er dette bare antall ledd ganger gjennomsnittet av alle leddene.

Vanlig feil

Den vanligste feilen er å glemme faktoren n/2 og i stedet gange n direkte med (a₁+aₙ). For eksempel for summen 1+2+3: feil = 3·(1+3) = 12 i stedet for riktig = 3/2·(1+3) = 6. Husk at n/2 representerer antall par av ledd – det er ikke n hele par, men n/2.

Øv selv

Lett: Finn S5 for følgen 1,2,3,4,5.

Minioppsummering

  • Summen av en aritmetisk rekke med n ledd er Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ).
  • Alternativt: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d), nyttig når siste ledd aₙ ikke er kjent direkte.
  • Gauss-innsikten: par opp første og siste ledd; summen av hvert par er konstant lik a₁+aₙ.
  • Sₙ er alltid lik antall ledd multiplisert med gjennomsnittet av første og siste ledd.
← Tilbake
1 + 2 + 3

Se etter

a_1=1

Sjekk

a_n=3

Retning

n=3

Aritmetisk rekke bruker første, siste og antall

S_n = n/2·(a_1+a_n)
Resultat = S_3 = 6

Summering med faste steg gir lukket formel.

Regel
Gaussformel: S_n = n/2(a_1 + a_n).
Kjerneidé
Summen er antall ledd ganger gjennomsnitt av endene.
Vanlig feil
Ikke bruk n i stedet for n/2 i prefaktoren.
Frem →