15.5 Geometriske følger
Intro
En geometrisk følge er en tallfølge der hvert ledd ganges med den samme faste faktoren k, kalt kvotienten. Geometriske følger beskriver eksponentiell vekst og forfall – noe av det viktigste i naturvitenskapen og samfunnet: befolkningsvekst, radioaktivt forfall, rentesrente, virusspredning og halvering av legemidler i kroppen. Å forstå geometriske følger er nøkkelen til å forstå eksponentiell utvikling.
Regel
- Det n-te leddet: aₙ = a₁·k^(n−1)
- Kvotienten: k = aₙ/aₙ₋₁ (konstant for alle n)
- k > 1: følgen vokser eksponentielt (vekst)
- 0 < k < 1: følgen minsker mot null (forfall)
- k < 0: følgen veksler mellom positive og negative verdier
- k = 1: konstant følge (alle ledd er like)
Eksempel
2,4,8
- Vi identifiserer følgen 2, 4, 8, 16, ... som geometrisk.
- Beregn kvotienten: k = 4/2 = 2 (og 8/4 = 2 – bekrefter konstant kvotient).
- Første ledd er a₁ = 2 og k = 2.
- Formelen for det n-te leddet: aₙ = 2·2^(n−1) = 2ⁿ.
- Sjekk: a₁ = 2¹ = 2 ✓, a₂ = 2² = 4 ✓, a₃ = 2³ = 8 ✓.
Svar: 2
Forstå
Der en aritmetisk følge legger til et fast tall (lineær vekst), multipliserer en geometrisk følge med et fast tall (eksponentiell vekst). Dobling (k=2) er det klassiske eksemplet: 1, 2, 4, 8, 16, ... Kvotienten k finnes alltid ved å dele ett ledd på forrige: k = a₂/a₁ = a₃/a₂.
Vanlig feil
En vanlig feil er å blande differansen d (aritmetisk) med kvotienten k (geometrisk). I en geometrisk følge dividerer du for å finne k, ikke trekker fra. For eksempel i 2, 4, 8: k = 4/2 = 2, ikke d = 4−2 = 2. Heldigvis er svaret det samme her, men i andre følger (f.eks. 3, 9, 27) ville feilen vise seg: k = 9/3 = 3, mens d = 9−3 = 6 (feil type).
Øv selv
Lett: Finn kvotienten k i følgen 3,6,12,...
Minioppsummering
- En geometrisk følge ganges med konstant kvotient k: aₙ = a₁·k^(n−1).
- Kvotienten finnes ved å dele ett ledd på forrige: k = a₂/a₁.
- k > 1 gir eksponentiell vekst; 0 < k < 1 gir eksponentiell nedgang mot null.
- Geometriske følger brukes til å modellere rente, befolkningsvekst og radioaktivt forfall.
Se etter
4/2
Sjekk
8/4
Retning
k = 2
Geometrisk følge har konstant kvotient
Samme faktor k mellom naboledd.