15.6 Geometriske rekker
Intro
En geometrisk rekke er summen av leddene i en geometrisk følge. Slike summer dukker opp overalt: totalverdien av en investeringskonto med rentes rente, den samlede effekten av et legemiddel over tid, og sum av geometriske serier i signalbehandling. Formelen for en geometrisk rekke er kompakt og kraftig, og forstår man den, kan man summere selv svært lange geometriske følger øyeblikkelig.
Regel
- Sumformelen: Sₙ = a₁·(1 − kⁿ)/(1 − k), for k ≠ 1
- Alternativ form: Sₙ = a₁·(kⁿ − 1)/(k − 1) (ekvivalent for k ≠ 1)
- For k = 1: Sₙ = n·a₁ (alle ledd er like, vanlig multiplikasjon)
- Utledning: kSₙ = a₁k + a₁k² + ... + a₁kⁿ; trekk Sₙ fra og løs
- Alle ledd i en geometrisk rekke: a₁, a₁k, a₁k², ..., a₁k^(n−1)
- Totalt er det n ledd, og siste ledd er aₙ = a₁·k^(n−1)
Eksempel
1+2+4
- Vi skal beregne summen 1 + 2 + 4 (geometrisk rekke med a₁ = 1, k = 2, n = 3).
- Kontroller: a₁ = 1, a₂ = 1·2 = 2, a₃ = 1·4 = 4. Kvotient k = 2 ✓.
- Bruk formelen: Sₙ = a₁·(1 − kⁿ)/(1 − k) = 1·(1 − 2³)/(1 − 2).
- Beregn: (1 − 8)/(1 − 2) = (−7)/(−1) = 7.
- Summen er S₃ = 7, som stemmer med direkte addisjon: 1+2+4 = 7.
Svar: 7
Forstå
Utledingen av formelen er elegant: multipliser hele summen Sₙ med k, og trekk den fra Sₙ. De fleste leddene forsvinner (teleskopering), og du sitter igjen med Sₙ(1−k) = a₁(1−kⁿ), som gir formelen. Husk å aldri bruke denne formelen med k = 1, da ville neneren bli null.
Vanlig feil
En vanlig feil er å forveksle aritmetisk og geometrisk sumformel. For geometriske rekker er formelen Sₙ = a₁(1−kⁿ)/(1−k), ikke n/2·(a₁+aₙ). En annen feil er å prøve å bruke formelen med k = 1, noe som gir divisjon med null. Hvis k = 1 er alle leddene like og summen er bare Sₙ = n·a₁.
Øv selv
Lett: Finn S4 for rekken 1+2+4+8.
Minioppsummering
- Summen av n ledd i en geometrisk rekke er Sₙ = a₁·(1−kⁿ)/(1−k) for k ≠ 1.
- For k = 1 er alle ledd like og Sₙ = n·a₁ (vanlig multiplikasjon).
- Formelen utledes ved teleskopering: Sₙ − kSₙ = a₁ − a₁kⁿ.
- Geometriske rekker brukes til å beregne rentes rente og akkumulert vekst.
Se etter
a_1=1
Sjekk
k=2
Retning
n=3
Geometrisk rekke trenger tre inngangsverdier
Pass pa fortegn og sjekk k=1 separat.