15.7 Uendelige rekker

Til kapittel 15

Intro

En uendelig rekke er summen av uendelig mange ledd: a₁ + a₂ + a₃ + ... Selv om det virker umulig å summere uendelig mange tall, kan noen slike rekker konvergere mot en endelig verdi. Den uendelige geometriske rekken er det viktigste eksemplet: hvis leddene blir stadig mindre (|k| < 1), nærmer summen seg en bestemt grenseverdi. Dette er grunnlaget for blant annet desimalbrøker, Taylor-rekker og beregning av sannsynligheter.

Regel

  • Uendelig geometrisk rekke konvergerer når |k| < 1
  • Summen: S = a₁/(1 − k), for |k| < 1
  • Rekken divergerer (summen finnes ikke) når |k| ≥ 1
  • Utledning: la n → ∞ i Sₙ = a₁(1−kⁿ)/(1−k); kⁿ → 0 når |k| < 1
  • Eksempel: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = (1/2)/(1 − 1/2) = 1
  • En uendelig rekke med |k| ≥ 1 har leddene som ikke går mot null, og rekken divergerer

Eksempel

1+1/2+1/4

  • Vi ser på den uendelige rekken 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
  • Her er a₁ = 1 og kvotienten k = 1/2. Siden |k| = 1/2 < 1, konvergerer rekken.
  • Bruk formelen: S = a₁/(1 − k) = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2.
  • Den uendelige rekken 1 + 1/2 + 1/4 + ... har summen S = 2.
  • Sjekk: S₃ = 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75; S₅ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1,9375 – nærmer seg 2.

Svar: 2

Forstå

Tenk deg en ball som hopper: for hvert hopp tilbakelegger den halvparten av forrige distanse. Selv om det er uendelig mange hopp, er den samlede distansen endelig. Det er essensen av en konvergerende rekke – uendelig mange ledd som likevel gir en endelig sum, fordi leddene krymper raskt nok mot null. Formelen S = a₁/(1−k) gir denne grenseverdien direkte.

Vanlig feil

En vanlig feil er å bruke formelen S = a₁/(1−k) uten å sjekke betingelsen |k| < 1. For k = 2 gir formelen S = a₁/(−1) = −a₁, men dette er matematisk meningsløst – rekken divergerer og har ingen endelig sum. Sjekk alltid at |k| < 1 før du bruker formelen for uendelig geometrisk rekke.

Øv selv

Lett: Konvergerer rekken 1+1/2+1/4+...?

Minioppsummering

  • En uendelig geometrisk rekke konvergerer mot S = a₁/(1−k) når |k| < 1.
  • Betingelsen |k| < 1 er absolutt nødvendig; uten den finnes ingen endelig sum.
  • Jo nærmere k er null, jo raskere konvergerer rekken mot grenseverdien.
  • Uendelige konvergente rekker er grunnlaget for Taylor-rekker og desimalbrøker.
← Tilbake
1 + 1/2 + 1/4 + ...

Se etter

k=1/2

Sjekk

|k|<1

Retning

Konv.

Uendelig geometrisk rekke krever |k| < 1

S = a_1/(1-k)
Resultat = S = 2

Uendelig sum betyr grensen av delsummene.

Regel
Uendelig geometrisk sum finnes bare nar |k| < 1.
Kjerneidé
Ledd som krymper raskt nok gir endelig grenseverdi.
Vanlig feil
Ikke bruk uendelig-formelen uten konvergenssjekk.
Frem →