17.3 Trapesmetoden
Intro
Trapesmetoden er den enkleste og mest intuitive numeriske integrasjonsmetoden. Den tilnærmer arealet under en kurve ved å erstatte kurven med rette linjestykker mellom naboene og summere arealene av de resulterende trapesene. Metoden er robust og bred: den brukes i vitenskapelig beregning, ingeniørprogramvare og overalt der en enkel men pålitelig numerisk integrasjon er nødvendig.
Regel
- Trapesformelen: ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ h/2 · [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
- Steglengde: h = (b−a)/n; xi = a + i·h for i = 0, 1, ..., n
- Første og siste funksjonsverdi ganges med 1; alle mellomliggende med 2
- Feilen er av orden O(h²): dobbelt så mange intervaller gir ca. 4 ganger bedre nøyaktighet
- Eksakt for lineære funksjoner (da er trapesene eksakte tilnærminger)
- Underestimerer konvekse kurver; overestimerer konkave kurver
Eksempel
Hva brukes?
- Vi tilnærmer ∫₀² x² dx med trapesmetoden og n = 4 intervaller.
- h = (2−0)/4 = 0,5; punkter: x₀=0, x₁=0,5, x₂=1, x₃=1,5, x₄=2.
- Funksjonsverdier: f(0)=0, f(0,5)=0,25, f(1)=1, f(1,5)=2,25, f(2)=4.
- Trapesformelen: T = 0,5/2·[0 + 2(0,25) + 2(1) + 2(2,25) + 4] = 0,25·[0+0,5+2+4,5+4] = 0,25·11 = 2,75.
- Eksakt svar: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2,667. Feil ≈ 0,083 med n=4.
Svar: trapes
Forstå
Trapesmetoden erstatter kurven f(x) mellom to nabopunkter xᵢ og xᵢ₊₁ med en rett linje. Arealet mellom denne linjen og x-aksen er nettopp et trapes med parallellsider f(xᵢ) og f(xᵢ₊₁) og bredde h. Summen av alle trapesene gir tilnærmingen. Mellompunktene (ikke endepunktene) teller dobbelt fordi de er delt mellom to nabotrapeser.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme å gange mellompunktene med 2 og kun summere alle funksjonsverdier med koeffisient 1. Den riktige formelen er h/2·[f(x₀) + 2f(x₁) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], der endepunktene har koeffisient 1 og alle indre punkter har koeffisient 2. Å glemme faktoren 2 gir et svar som er for lite.
Øv selv
Lett: Regn ut trapesestimatet T1 for ∫_0^2 x^2 dx.
Minioppsummering
- Trapesmetoden tilnærmer kurven med rette linjestykker og summerer trapesarealene.
- Formel: T ≈ h/2·[f(x₀) + 2f(x₁) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], med h = (b−a)/n.
- Indre punkter ganges med 2; endepunktene ganges med 1.
- Feilen er O(h²): å doble n (halvere h) gir ca. 4 ganger bedre nøyaktighet.