17.4 Simpsonmetoden
Intro
Simpsons metode er en mer nøyaktig numerisk integrasjonsmetode enn trapesmetoden. I stedet for å tilnærme kurven med rette linjestykker (trapesmetoden), tilnærmer Simpsons metode kurven med andregradspolynomer (parabler) gjennom hvert triplett av nabopunkter. Denne bedre kurvetilpasningen reduserer feilen dramatisk og gjør metoden til et standardverktøy i vitenskapelig databehandling og numerisk analyse.
Regel
- Simpsons formel (n må være partall): S ≈ h/3·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + ... + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
- Koeffisientmønster: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 2, 4, 1
- Odde indekser (x₁, x₃, ...) ganges med 4; jevne indekser (x₂, x₄, ...) ganges med 2
- Steglengde: h = (b−a)/n; n må være et positivt partall
- Feilen er av orden O(h⁴): dobbelt så mange intervaller gir ca. 16 ganger bedre nøyaktighet
- Eksakt for polynomer av grad ≤ 3 (kubiske funksjoner)
Eksempel
Hva forbedrer?
- Vi tilnærmer ∫₀² x² dx med Simpsons metode og n = 4 intervaller.
- h = 0,5; punkter: x₀=0, x₁=0,5, x₂=1, x₃=1,5, x₄=2.
- Funksjonsverdier: f(0)=0, f(0,5)=0,25, f(1)=1, f(1,5)=2,25, f(2)=4.
- Simpsons formel: S = 0,5/3·[1·0 + 4·0,25 + 2·1 + 4·2,25 + 1·4] = 1/6·[0+1+2+9+4] = 16/6 = 8/3.
- Eksakt svar: 8/3 ≈ 2,6667. Simpsons metode gir eksakt svar her fordi x² er et polynom av grad 2!
Svar: nøyaktighet
Forstå
Der trapesmetoden tilpasser rette linjer mellom to nabopunkter, tilpasser Simpsons metode en parabel gjennom tre nabopunkter. Siden de fleste kurver ligner parabler mer enn rette linjer, gir Simpsons metode betydelig bedre nøyaktighet med det samme antall evalueringspunkter. Mønsteret 1−4−2−4−2-...-4−1 stammer fra den analytiske integrasjonen av den parabolske tilnærmingen.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å bruke feil koeffisientmønster. I Simpsons metode er mønsteret 1−4−2−4−2-...-4−1 (odde indekser får 4, jevne indekser får 2), ikke 1−2−2-...-2−1 som i trapesmetoden. En annen feil er å bruke et odde antall intervaller n – Simpsons metode krever at n er et partall. Med odde n kan ikke metoden brukes direkte.
Øv selv
Lett: Regn ut Simpsons estimat S2 for ∫_0^2 x^2 dx.
Minioppsummering
- Simpsons metode tilnærmer kurven med parabler gjennom tripletter av nabopunkter.
- Formel: S ≈ h/3·[f(x₀)+4f(x₁)+2f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ₋₁)+f(xₙ)]; n må være partall.
- Mønsteret er 1−4−2−4−2-...-4−1 for koeffisientene.
- Feilen er O(h⁴): mye raskere konvergens enn trapesmetoden (O(h²)).