17.5 Variabelskifte

Til kapittel 17

Intro

Variabelskifte (substitusjon) er den viktigste teknikken for å forenkle sammensatte integraler. Ideen er å identifisere et indre uttrykk u(x) i integranden og bytte integrasjonsvariabelen fra x til u, noe som forenkler integralet dramatisk. Metoden er den inverse av kjerneregelen (chain rule) for derivasjon, og er uunnværlig for å integrere sammensatte funksjoner som ∫2x·eˣ² dx og ∫cos(x)·sin³(x) dx.

Regel

  • Velg en substitusjon u = g(x); beregn du = g'(x)dx
  • Bytt ut g(x) med u og g'(x)dx med du i integralet
  • Integrer mht. u og skriv svaret tilbake i x til slutt
  • For bestemt integral: bytt også grensene fra x til u (u(a) og u(b))
  • Nøkkelen: integranden bør inneholde g'(x) (den deriverte av det du setter u lik)
  • Typisk mønster: ∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du = F(u)+C = F(g(x))+C

Eksempel

Hva gjør vi?

  • Vi beregner ∫2x·eˣ² dx ved variabelskifte.
  • Sett u = x². Da er du = 2x·dx, altså 2x·dx = du.
  • Bytt ut: ∫2x·eˣ² dx = ∫eᵘ du.
  • Integrer: ∫eᵘ du = eᵘ + C.
  • Sett u = x² tilbake: svaret er eˣ² + C. Sjekk: d/dx[eˣ²] = eˣ²·2x ✓.

Svar: substitusjon

Forstå

Substitusjon er kjerneregelens inverse. Kjerneregelen sier: d/dx[F(g(x))] = F'(g(x))·g'(x). Integrasjon av begge sider gir ∫F'(g(x))·g'(x)dx = F(g(x))+C. Variabelskifte u=g(x) gjør dette systematisk: vi 'innkapsler' det indre uttrykket i u, regner i u-verdenen, og oversetter svaret tilbake til x. Nøkkelindikatoren for å bruke substitusjon: kan vi finne g'(x) i integranden?

Vanlig feil

Den vanligste feilen er å glemme å endre differensialet: når du setter u = g(x), må du også bytte dx til du/g'(x). Mange bytter ut g(x) med u men beholder dx, og ender opp med et feil integral. Eksempel: for ∫eˣ² dx (uten 2x) finnes ingen enkel substitusjon – det er et signal om at integralet krever numerisk metode.

Øv selv

Lett: Regn ut ∫2x·cos(x^2) dx.

Minioppsummering

  • Variabelskifte: sett u = g(x), beregn du = g'(x)dx, bytt ut og integrer mht. u.
  • Fungerer best når integranden inneholder et indre uttrykk g(x) og dets deriverte g'(x).
  • Husk alltid å sette u tilbake til x i svaret (for ubestemt integral).
  • For bestemt integral: bytt integrasjonsgrensene til u(a) og u(b) – ikke tilbake til x.
← Tilbake
∫(3x²)/(x³+1) dx

Nevneren x³+1 er en naturlig kandidat for u i dette integralet.

Se etter

indre uttrykk

Velg

u = x³ + 1

Mål

gjør integralet enklere

Først finner vi hva som skal innkapsles i variabelen u.

u = x³ + 1
Resultat = u valgt

Bruk samme oppskrift: velg u, finn du, bytt ut.

Regel
Start variabelskifte med u = g(x), der g(x) er indre uttrykk.
Kjerneidé
Godt u-valg gjør hele integralet enklere å kjenne igjen.
Vanlig feil
Å velge u som ikke matcher strukturen i nevner eller eksponent.
Frem →