17.6 Delvis integrasjon
Intro
Delvis integrasjon er teknikken for å integrere produkter av to funksjoner, og er den inverse av produktregelen for derivasjon. Den brukes når variabelskifte ikke fungerer – typisk på integraler som ∫x·eˣ dx, ∫x·sin(x) dx eller ∫ln(x) dx. Metoden reduserer et vanskelig produkt til et (forhåpentligvis) enklere integral, og er uunnværlig i ingeniørfag, fysikk og differensialligninger.
Regel
- Formelen: ∫u dv = u·v − ∫v du
- Velg u og dv slik at ∫v du er enklere enn det opprinnelige integralet
- LIATE-regelen for valg av u: Logaritm > Invers trig > Algebraisk > Trigonometrisk > Eksponentiell
- Utledning: produktregelen d(uv)/dx = u·v' + v·u' → integrasjon → ∫u·v'dx = uv − ∫v·u'dx
- Metoden kan måtte brukes to ganger (for f.eks. ∫x²eˣ dx)
- Noen ganger sirkler integralet tilbake – sett det på en side og løs algebraisk
Eksempel
Hva brukes?
- Vi beregner ∫x·eˣ dx med delvis integrasjon.
- Velg u = x (algebraisk → deriveres til 1) og dv = eˣ dx (integreres til eˣ).
- Da er du = dx og v = eˣ.
- Bruk formelen: ∫x·eˣ dx = u·v − ∫v du = x·eˣ − ∫eˣ dx.
- Integrer: x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C. Sjekk: d/dx[eˣ(x−1)] = eˣ(x−1)+eˣ = xeˣ ✓.
Svar: produkt
Forstå
Delvis integrasjon fungerer ved å overføre derivasjonen fra u til v. Velg u til å være den funksjonen du ønsker å derivere (for å forenkle), og dv til å være den du kan integrere. LIATE-hjelperegelen sier at logaritmer og polynomer er gode valg for u fordi de forenkles ved derivasjon, mens eksponential- og trigonometriske funksjoner er ok som dv fordi de er enkle å integrere.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å velge feil u og dv – særlig å sette u = eˣ og dv = x dx. Da er v = x²/2 og ∫v du = ∫(x²/2)·eˣ dx, som er vanskeligere enn det opprinnelige integralet. Velg alltid u slik at det forenkles ved derivasjon (f.eks. polynom). En annen feil er å glemme minustegnet: formelen er uv MINUS ∫v du, ikke pluss.
Øv selv
Lett: Regn ut ∫x·e^x dx.
Minioppsummering
- Delvis integrasjon: ∫u dv = u·v − ∫v du – invers av produktregelen.
- LIATE: Logaritm > Inv.trig > Algebraisk > Trig > Eksponentiell – prioritet for valg av u.
- Målet er å velge u og dv slik at ∫v du er enklere enn det opprinnelige integralet.
- Kan brukes gjentatte ganger, eller løses algebraisk når integralet sirkler tilbake.
x blir enklere ved derivasjon, så det er et naturlig valg for u.
Produkt
x · sin(x)
Velg u
u = x
Velg dv
dv = sin(x)dx
Nå har vi valgt hva som deriveres og hva som integreres.
Bruk samme oppskrift: velg, finn, sett inn.