4.1 Kvadratsetningene
Intro
Kvadratsetningene er tre viktige algebraiske mønstre som gjentakende dukker opp i matematikken. Å gjenkjenne dem sparer deg for mye unødvendig regning når du skal gange ut eller faktorisere. De danner også grunnlaget for mange andre algebraiske metoder du vil møte videre i pensumet.
Regel
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b² (differanse av kvadrater)
- Merk: midtleddet 2ab er alltid med i de to første setningene
- Kvadrater er alltid ikke-negative: a² ≥ 0 for alle reelle tall
Eksempel
Skriv om: (x + 3)²
- Gjenkjenn mønsteret: dette er på formen (a + b)² med a = x og b = 3
- Bruk formelen: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Regn ut hvert ledd: a² = x², 2ab = 2·x·3 = 6x, b² = 3² = 9
- Sett leddene sammen: x² + 6x + 9
- Sjekk: ganger du ut (x + 3)(x + 3) manuelt, skal du få samme svar
Svar: x² + 6x + 9
Forstå
Disse mønstrene fungerer fordi de er snarveier for å gange ut parenteser. Når du ser (x + 3)², kan du gå direkte til x² + 6x + 9 uten å skrive ut alt steg for steg. Den tredje setningen – differanse av kvadrater – er spesielt nyttig fordi den gir kun to ledd og ingen midtledd.
Vanlig feil
En svært vanlig feil er å glemme midtleddet 2ab og skrive (a + b)² = a² + b². For eksempel er (x + 3)² ikke x² + 9 – det mangler 6x. Husk alltid å inkludere det dobbelte produktet.
Øv selv
Lett: Skriv om: (x - 2)²
Minioppsummering
- (a + b)² = a² + 2ab + b² – husk midtleddet!
- (a − b)² = a² − 2ab + b² – midtleddet er negativt
- (a + b)(a − b) = a² − b² – differanse av kvadrater, ingen midtledd
- Gjenkjenning av disse mønstrene er nøkkelen til rask faktorisering og utvidelse