5.5 Likninger og ulikheter av tredje grad
Intro
Tredjegradslikninger og -ulikheter involverer polynomer av grad 3 og kan ha inntil tre løsninger. Løsningsstrategien ligner på andregradstilfellene, men krever ofte at du finner én faktor via restsetningen og deretter deler ut et andregradsuttrykk. Nullproduktregelen gjelder fortsatt: produktet er null kun når minst én faktor er null.
Regel
- Finn ett nullpunkt ved testing: prøv x = 0, ±1, ±2, ...
- Hvis f(a) = 0, er (x − a) en faktor – del ut med polynomdivisjon
- Faktoriser det gjenværende andregradsuttrykket videre
- For ulikheter: bruk fortegnsanalyse med intervaller mellom nullpunktene
- Et tredjegradspolynom har alltid minst én reell løsning
Eksempel
Løs: x³ − x = 0
- Trekk ut felles faktor: x³ − x = x(x² − 1)
- Gjenkjenn x² − 1 som differanse av kvadrater: (x − 1)(x + 1)
- Full faktorisering: x(x − 1)(x + 1) = 0
- Bruk nullproduktregelen: x = 0, x − 1 = 0, eller x + 1 = 0
- Løsninger: x = 0, x = 1, eller x = −1
Svar: x=0ellerx=1ellerx=−1
Forstå
Tredjegradslikninger kan ofte løses ved å kombinere restsetningen med polynomdivisjon og etterfølgende faktorisering. Siden polynomer av grad 3 alltid krysser x-aksen minst én gang, finnes det alltid minst én løsning. Etter at du har funnet én faktor, er resten andregrad og kan faktoriseres med kjente metoder.
Vanlig feil
En typisk feil er å stoppe etter å ha funnet én løsning og glemme resten. Tredjegradslikninger kan ha opptil tre løsninger, og alle må finnes. Faktoriser alltid så langt som mulig og bruk nullproduktregelen på samtlige faktorer.
Øv selv
Lett: Løs: x³ = 0
Minioppsummering
- Trekk ut felles faktor og gjenkjenn mønstre i tredjegradsuttrykk
- Bruk restsetningen for å finne én faktor, del deretter ut med polynomdivisjon
- Et tredjegradspolynom har inntil tre reelle løsninger
- For ulikheter: analyser fortegn i hvert intervall mellom nullpunktene
Trekk ut x som felles faktor.