5.6 Rasjonale likninger
Intro
En rasjonal likning inneholder én eller flere brøker der variabelen opptrer i nevneren. Løsningsstrategien er å multiplisere begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Vær alltid oppmerksom på hvilke verdier som gjør nevneren null – disse er ikke tillatte løsninger.
Regel
- Finn fellesnevneren for alle brøkledd i likningen
- Multipliser alle ledd på begge sider med fellesnevneren
- Løs den resulterende polynomlikningen
- Sjekk alltid om løsninger gjør noen nevner lik 0 – disse er ugyldige
- En løsning som gjør nevneren = 0 kalles en falsk løsning
Eksempel
Løs: 1/x = 2
- Merk at x ≠ 0 – nevneren kan ikke være null
- Multipliser begge sider med x: x · (1/x) = 2 · x
- Forenkle: 1 = 2x
- Løs: x = 1/2
- Sjekk: x = 1/2 ≠ 0, og 1/(1/2) = 2 ✓
Svar: x=1/2
Forstå
Rasjonale likninger omformes til polynomlikninger ved å gange bort nevneren. Det viktigste ekstra steget er kontrollen til slutt: av og til fører ganging med nevneren til løsninger som ikke er gyldige i originallikningen. Sett alltid løsningen tilbake og sjekk.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme å sjekke om løsningen er tillatt. Hvis likningen inneholder x i nevneren og løsningen er x = 0, er denne ugyldig. Sett alltid løsningen tilbake i den opprinnelige likningen og verifiser.
Øv selv
Lett: Løs: 1/x = 1
Minioppsummering
- Finn fellesnevneren og multipliser alle ledd med den
- Bestem hvilke x-verdier som er forbudt (gjør nevneren = 0)
- Løs den resulterende likningen
- Sjekk alltid løsningene i originallikningen for å avdekke falske løsninger
Startbetingelse: x kan ikke være 0.