5.7 Doble andregradslikninger
Intro
En dobbel andregradslikning er en likning som ser ut som en andregrad i x² istedenfor x, typisk på formen ax⁴ + bx² + c = 0. Nøkkelgrepet er substitusjon: vi setter u = x², løser en vanlig andregradslikning i u, og bytter tilbake til x. Substitusjon er en kraftfull teknikk som forenkler mange tilsynelatende vanskelige likninger.
Regel
- Sett u = x² for å omforme ax⁴ + bx² + c = 0 til au² + bu + c = 0
- Løs andregradslikningen i u med faktorisering eller andregradsformelen
- Bytt tilbake: u = x², så x = ±√u
- Husk at u = x² ≥ 0 – negative u-verdier gir ingen reelle løsninger for x
- Hvert positive u gir to x-verdier: x = √u og x = −√u
Eksempel
Løs: x⁴ − 5x² + 4 = 0
- Sett u = x²: likningen blir u² − 5u + 4 = 0
- Faktoriser med heltallsmetoden: to tall med produkt 4 og sum −5 er −1 og −4
- (u − 1)(u − 4) = 0 → u = 1 eller u = 4
- Bytt tilbake: x² = 1 → x = ±1, og x² = 4 → x = ±2
- Alle fire løsninger: x = 1, x = −1, x = 2, x = −2
Svar: x=1ellerx=−1ellerx=2ellerx=−2
Forstå
Substitusjon er nøkkelen: ved å sette u = x² ser likningen ut som en vanlig andregrad, og du kan bruke alle kjente metoder. Husk alltid å bytte tilbake til x til slutt, og sjekk at u ≥ 0 for at løsningene skal gi reelle x-verdier.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme tilbakebyttingen og bare rapportere u-verdiene som svar. Husk at u = x², så u = 4 gir x = ±2, ikke x = 4. Husk også å sjekke at u-verdiene er ikke-negative.
Øv selv
Lett: I likningen x⁴ + bx² + c = 0, hva setter vi ofte u lik for å få en andregrad i u?
Minioppsummering
- Sett u = x² for å gjøre likningen om til en vanlig andregrad
- Løs andregradslikningen i u
- Bytt alltid tilbake: x = ±√u
- Negative u-verdier gir ingen reelle løsninger – forkast dem
Sett u=x² for å få en standard andregrad.