5.8 Rasjonale ulikheter
Intro
En rasjonal ulikhet inneholder en brøk der variabelen opptrer i telleren og/eller nevneren, og vi spør om denne brøken er positiv, negativ, eller over/under en gitt verdi. Løsningsmetoden ligner på andregradsulikheter: finn kritiske punkter og analyser fortegn i hvert intervall. Aldri gang med et uttrykk som har ukjent fortegn.
Regel
- Flytt alle ledd til én side: f(x)/g(x) > 0 (eller < 0)
- Finn nullpunktene til teller og nevner separat
- Del tallinjen i intervaller ved alle kritiske punkter
- Test ett punkt per intervall og bestem fortegnet til brøken
- Nevnerens nullpunkter er aldri en del av løsningen (brøken er udefinert der)
Eksempel
Løs: 1/x > 0
- Nevneren er x – kritisk punkt ved x = 0 (der brøken er udefinert)
- Del tallinjen i to intervaller: x < 0 og x > 0
- Test x = −1: 1/(−1) = −1 < 0 – ikke en løsning
- Test x = 1: 1/1 = 1 > 0 – løsning!
- Svar: x > 0 (x = 0 ekskluderes siden nevneren = 0 der)
Svar: x>0
Forstå
Brøken f(x)/g(x) er positiv der teller og nevner har likt fortegn, og negativ der de har ulikt fortegn. Fortegnet skifter ved nullpunktene til teller og nevner. En systematisk fortegnsanalyse er den sikreste metoden.
Vanlig feil
En svært vanlig feil er å gange begge sider med nevneren uten å vite fortegnet, noe som kan snu ulikheten. Bruk alltid fortegnsanalyse med intervaller i stedet for å gange med ukjente uttrykk.
Øv selv
Lett: Løs: 1/x < 0
Minioppsummering
- Skriv ulikheten med alt på én side: rasjonalt uttrykk > 0 eller < 0
- Finn nullpunkter til teller og nevner – disse er kritiske punkter
- Test fortegnet til uttrykket i hvert intervall
- Nevnerens nullpunkter ekskluderes alltid fra løsningene
Kritisk punkt: x=0 deler i to intervaller.