5.9 Irrasjonale likninger
Intro
Irrasjonale likninger inneholder røtter med variabelen under rottegnet, som √(2x + 1) = 3. Vi løser dem ved å oppheve roten – som regel ved å kvadrere begge sider. Denne prosessen kan imidlertid introdusere falske løsninger, så det er obligatorisk å sjekke alle svar i originallikningen.
Regel
- Isolder rottegnet på én side av likhetstegnet
- Kvadrer begge sider for å fjerne roten
- Løs den resulterende likningen
- Sjekk alltid alle løsninger i originallikningen – falske løsninger kan oppstå
- For √f(x) = g(x): g(x) må være ≥ 0 for at løsningen skal være gyldig
Eksempel
Løs: √x = 3
- Roten er allerede isolert på venstre side
- Kvadrer begge sider: (√x)² = 3² → x = 9
- Sjekk om løsningen er gyldig i originallikningen: √9 = 3 ✓
- x = 9 er under rottegnet, som krever x ≥ 0 – dette er oppfylt
- Løsningen er x = 9
Svar: x=9
Forstå
Kvadrering er en ikke-reversibel operasjon i den forstand at a² = b² gir |a| = |b|, altså a = ±b. Derfor kan kvadrering introdusere løsninger som ikke oppfyller den opprinnelige likningen. En grundig sjekk er absolutt nødvendig – ikke valgfri.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme sjekken etter kvadrering. For eksempel gir √x = −3 ingen løsning fordi kvadratroten alltid er ≥ 0, men x = 9 vil likevel bli funnet ved kvadrering – og den er en falsk løsning. Sjekk alltid!
Øv selv
Lett: Løs: √x = 4
Minioppsummering
- Isolder rottegnet på én side av likningen
- Kvadrer begge sider for å fjerne roten
- Løs den resulterende likningen
- Sjekk alltid alle løsninger i originallikningen – falske løsninger er vanlige
Nå kan begge sider kvadreres direkte.