6.7 Derivasjon
Intro
Derivasjon er en av de viktigste operasjonene i matematikken, og er verktøyet vi bruker for å beregne øyeblikkelig endringshastighet. Derivasjonen brukes i alt fra å finne toppunkter i funksjoner, til å beregne hastighet og akselerasjon i fysikk, og til å optimere inntekt og kostnader i økonomi. Å mestre de grunnleggende derivasjonsreglene er essensielt for all videre matematikk.
Regel
- Potensregel: (xⁿ)' = n·x^(n−1) – eksponenten reduseres med 1
- Konstantregel: (c)' = 0 for enhver konstant c
- Konstantfaktorregel: (c·f(x))' = c·f'(x)
- Summeregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
- Differanseregel: (f(x) − g(x))' = f'(x) − g'(x)
- Alternativ notasjon: f'(x) = df/dx = Df(x)
Eksempel
Deriver f(x) = 3x³ − 2x² + 5x − 7
- Deriver hvert ledd separat ved hjelp av potensregelen og summeregelen
- Deriver 3x³: 3 · 3x² = 9x²
- Deriver −2x²: −2 · 2x = −4x
- Deriver 5x: 5 · 1 = 5
- Deriver −7: konstant gir 0
- Svar: f'(x) = 9x² − 4x + 5
Svar: 9x²−4x+5
Forstå
Derivasjonen gir oss stigningen til tangentlinjen i hvert punkt av grafen. Dersom f'(x) > 0 i et område, øker funksjonen der. Dersom f'(x) < 0, avtar den. Og dersom f'(x) = 0 i et punkt, er tangenten horisontal – det er et mulig topp- eller bunnpunkt som vi må undersøke nærmere.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å ikke redusere eksponenten med 1 etter å ha ganget med eksponenten – derivasjonen av x³ er 3x², ikke 3x³. En annen hyppig feil er å glemme at en konstant deriveres til 0: mange tar med konstanten i svaret uendret, men derivasjonen av et fast tall er alltid null.
Øv selv
Lett: Deriver x.
Minioppsummering
- Potensregel: (x^n)' = n·x^(n−1) – gang med eksponenten, trekk fra én
- Konstanten forsvinner: derivasjon av et tall gir alltid 0
- Summe- og differanseregelen lar oss derivere ledd for ledd
- Derivasjonen gir stigningen til tangentlinjen og øyeblikkelig endringsrate
Deriver ledd for ledd med potensregel.