6.8 Normaler
Intro
En normal er en rett linje som er vinkelrett på tangenten i et bestemt punkt på kurven. Normaler brukes blant annet i geometri, optikk (lysets innfallsvinkel) og ingeniørfag for å beregne krefter som virker normalt på overflater. Stigningen til normalen er alltid den negative inversen av tangentens stigning.
Regel
- Hvis tangentens stigning er m, er normalens stigning m_n = −1/m (forutsatt m ≠ 0)
- Normalens likning i punktet (a, f(a)): y − f(a) = (−1/f'(a))(x − a)
- Tangent og normal er alltid vinkelrette: m · m_n = −1
- Hvis tangenten er horisontal (m = 0), er normalen vertikal: x = a
- Hvis tangenten er vertikal, er normalen horisontal: y = f(a)
Eksempel
Finn normallinjen til f(x) = x² i punktet x = 1
- Beregn f(1) = 1² = 1, så punktet er (1, 1)
- Finn den deriverte: f'(x) = 2x, dermed f'(1) = 2
- Normalens stigning: m_n = −1/f'(1) = −1/2
- Normalens likning: y − 1 = −(1/2)(x − 1)
- Forenkl: y = −x/2 + 1/2 + 1 = −x/2 + 3/2
Svar: −1/2
Forstå
Tenk på et veikryss i rett vinkel – de to veiene er vinkelrette på hverandre, akkurat som tangent og normal. For å finne normalens stigning tar du den negative inversen: dersom tangenten har stigning 3, vil normalen ha stigning −1/3. Produktet av de to stigningene er alltid −1 for vinkelrette linjer.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er feil fortegn: mange skriver 1/m i stedet for −1/m og glemmer minusen. Husk at to linjer er vinkelrette hvis og bare hvis produktet av stigningene er −1, altså m₁ · m₂ = −1. En annen feil er å bruke normalens stigning der man egentlig trenger tangentens stigning og omvendt.
Øv selv
Lett: Hvis tangentens stigning er 1, hva er normalens stigning?
Minioppsummering
- Normalens stigning er den negative inversen av tangentens stigning: m_n = −1/m
- Tangent og normal er alltid vinkelrette på hverandre: m · m_n = −1
- Normallinjas likning: y − f(a) = (−1/f'(a))(x − a)
- Hvis tangenten er horisontal, er normalen vertikal, og vice versa