6.9 Fart og akselerasjon
Intro
Fart og akselerasjon er sentrale begreper i fysikk, og de kan beskrives matematisk ved hjelp av derivasjon. Posisjonsfunksjonen s(t) forteller oss hvor et objekt befinner seg til enhver tid. Den deriverte gir oss farten, og den dobbeltderiverte gir oss akselerasjonen – endringen i fart over tid. Dette er grunnlaget for Newtons bevegelseslover og all klassisk mekanikk.
Regel
- Posisjonen er gitt av s(t)
- Momentan fart er den første deriverte: v(t) = s'(t)
- Akselerasjon er den andre deriverte: a(t) = s''(t) = v'(t)
- Positiv fart betyr bevegelse fremover, negativ fart betyr bevegelse bakover
- Positiv akselerasjon betyr at farten øker, negativ akselerasjon betyr at farten avtar (bremsing)
Eksempel
Et objekt har posisjonsfunksjonen s(t) = t³ − 3t² + 2t. Finn fart og akselerasjon.
- Finn farten ved å derivere s(t): v(t) = s'(t) = 3t² − 6t + 2
- Finn akselerasjonen ved å derivere v(t): a(t) = v'(t) = 6t − 6
- Eksempel ved t = 1: farten v(1) = 3 − 6 + 2 = −1 (beveger seg bakover)
- Akselerasjonen ved t = 1: a(1) = 6 − 6 = 0 (ingen akselerasjon i dette øyeblikket)
- Konklusjon: v(t) = 3t² − 6t + 2 og a(t) = 6t − 6
Svar: v(t)=3t²−6t+2, a(t)=6t−6
Forstå
Se for deg et kjøretøy: s(t) er GPS-posisjonen, v(t) er det speedometeret viser, og a(t) er det du kjenner i kroppen når bilen akselererer eller bremser. Matematisk er farten den deriverte av posisjon med hensyn på tid, og akselerasjonen er den deriverte av fart. Disse tre henger tett sammen og er kjernen i klassisk mekanikk.
Vanlig feil
En vanlig feil er å blande nivåer: noen bruker den andrederiverte der de burde bruke den første, og omvendt. Husk at fart er første derivert av posisjon, og akselerasjon er andre derivert av posisjon (eller første derivert av fart). En annen feil er å tolke negativ fart som 'ingen fart' – negativ fart betyr bevegelse i motsatt retning.
Øv selv
Lett: Hva er fart i forhold til posisjonen s(t)?
Minioppsummering
- Fart er første derivert av posisjonen: v(t) = s'(t)
- Akselerasjon er andre derivert av posisjonen: a(t) = s''(t)
- Positiv fart = bevegelse fremover, negativ fart = bevegelse bakover
- Akselerasjon beskriver endringen i fart – positiv betyr at farten øker
Deriver s(t) for å få fart v(t).
Deriver v(t) én gang til for akselerasjon a(t).