7.6 Sammensatte funksjoner
Intro
Sammensatte funksjoner er funksjoner der én funksjon er satt inn i en annen – for eksempel (x² + 1)³ eller sin(x²). I matematikk og naturvitenskap støter vi stadig på slike sammensatte uttrykk. For å derivere dem bruker vi kjerneregelen (chain rule) – en av de viktigste og mest brukte derivasjonsreglene.
Regel
- Kjerneregel: hvis h(x) = f(g(x)), da er h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
- Identifiser ytre funksjon f og indre funksjon g (kjernen)
- Deriver den ytre funksjonen, men behold kjernen inni
- Multipliser med derivasjonen av kjernen (indre derivert)
- Kjerneregel kan brukes gjentatte ganger ved flere lag av sammensetning
Eksempel
Deriver h(x) = (3x² + 2)⁴
- Identifiser ytre funksjon: f(u) = u⁴, og kjernen: g(x) = 3x² + 2
- Deriver den ytre: f'(u) = 4u³
- Deriver kjernen: g'(x) = 6x
- Bruk kjerneregelen: h'(x) = f'(g(x)) · g'(x) = 4(3x² + 2)³ · 6x
- Forenkl: h'(x) = 24x(3x² + 2)³
Svar: 24x(3x²+2)³
Forstå
Tenk på kjerneregelen som 'deriver utenifra og inn, og gang med den indre deriverte'. For eksempel: hvis h(x) = (x² + 1)⁵, er den ytre funksjonen u⁵ og kjernen er u = x² + 1. Derivasjonen gir 5(x² + 1)⁴ · 2x, der 2x er den indre deriverte. Jo nærmere man ser, jo viktigere er den indre deriverte.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å glemme den indre deriverte – mange deriverer den ytre funksjonen korrekt men glemmer å gange med g'(x). For eksempel: derivasjonen av (x² + 1)³ er 3(x² + 1)² · 2x, ikke bare 3(x² + 1)². Å glemme faktoren 2x er en meget vanlig feil i eksamensoppgaver.
Øv selv
Lett: Hvilken regel brukes for sammensatte funksjoner?
Minioppsummering
- Kjerneregel: h'(x) = f'(g(x)) · g'(x) for h(x) = f(g(x))
- Identifiser alltid ytre funksjon og kjernen (indre funksjon) separat
- Deriver ytre funksjon og multipliser med den indre deriverte
- Kjerneregelen kan brukes gjentatte ganger ved dypere sammensetninger
Ytre funksjon er u^4, indre funksjon er u=3x²+2.