7.7 Derivasjon av et produkt
Intro
Produktregelen er en av de tre viktigste derivasjonsreglene og brukes når vi skal derivere et produkt av to funksjoner. En vanlig feil er å tro at derivasjonen av et produkt er produktet av derivasjonene – det stemmer ikke! Produktregelen gir oss den korrekte fremgangsmåten, og er uunnværlig i praktisk derivasjon.
Regel
- Produktregel: (f · g)' = f' · g + f · g'
- Alternativt: d/dx[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
- Begge funksjonene deriveres, men aldri begge på samme tid
- Produktregelen gir alltid to ledd som legges sammen
- Produktregelen kan generaliseres: (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
Eksempel
Deriver f(x) = x³ · (2x + 1)
- Identifiser faktorene: f(x) = x³ og g(x) = 2x + 1
- Deriver begge: f'(x) = 3x², g'(x) = 2
- Anvend produktregelen: (f · g)' = f' · g + f · g' = 3x² · (2x + 1) + x³ · 2
- Ekspander: 6x³ + 3x² + 2x³
- Forenkl: 8x³ + 3x²
Svar: 8x³+3x²
Forstå
Tenk deg at du øker to størrelser samtidig. Den totale endringen avhenger av begge leddene: enten endrer du den første mens den andre er konstant, eller omvendt. Produktregelen fanger opp begge disse bidragene. Huskeord: 'deriver den første, behold den andre – pluss – behold den første, deriver den andre'.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å derivere begge faktorene og gange dem sammen: (f · g)' ≠ f' · g'. Dette er fundamentalt feil! Du må bruke produktregelen f'g + fg'. En annen feil er å glemme ett av de to leddene i produktregelen – skriv alltid opp begge leddene separat før du forenkler.
Øv selv
Lett: Hvilken regel brukes for å derivere et produkt f(x)·g(x)?
Minioppsummering
- Produktregel: (fg)' = f'g + fg' – aldri (fg)' = f'g'
- Deriver den første faktoren og behold den andre, legg til behold den første og deriver den andre
- Produktregelen gir alltid to ledd som legges sammen
- Kombineres ofte med kjerneregelen ved sammensatte faktorer
Produktregel: (fg)'=f'g+fg'.