7.8 Derivasjon av en kvotient
Intro
Kvotientregelen brukes for å derivere brøker der både teller og nevner er funksjoner av x. I likhet med produktregelen er det en feil å tro at derivasjonen av en brøk er brøken av derivasjonene. Kvotientregelen har en spesiell struktur med minus i telleren, som det er lett å glemme – men som er avgjørende for riktig svar.
Regel
- Kvotientregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g²
- Alternativt: d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)] / [g(x)]²
- Merk minus-tegnet: ALLTID f'g minus fg' i telleren (ikke pluss!)
- Nevneren er alltid g² (den opprinnelige nevneren i kvadrat)
- Kvotientregelen kan alternativt avledes ved produktregelen med g⁻¹
Eksempel
Deriver f(x) = (x² + 1)/(x − 3)
- Identifiser teller og nevner: f(x) = x² + 1, g(x) = x − 3
- Deriver begge: f'(x) = 2x, g'(x) = 1
- Anvend kvotientregelen: (f'g − fg')/g² = [2x(x − 3) − (x² + 1) · 1]/(x − 3)²
- Ekspander telleren: 2x² − 6x − x² − 1 = x² − 6x − 1
- Svar: f'(x) = (x² − 6x − 1)/(x − 3)²
Svar: (x²−6x−1)/(x−3)²
Forstå
Kvotientregelen har en logisk struktur: teller og nevner deriveres på hver sin måte. I telleren er det MINUS mellom de to produktene – dette er den vanligste kilden til feil. Huskeord: 'Lo di-hi minus hi di-lo, delt på lo kvadrat' (lo = nevner, hi = teller, di = deriver). Nevneren i kvadrat sørger for riktig normering.
Vanlig feil
Den aller vanligste feilen er å bruke pluss i stedet for minus i telleren: (f'g + fg') er feil – det skal alltid være (f'g − fg'). En annen feil er å glemme å kvadrere nevneren – vi deler på g², ikke g. Skriv alltid opp formelen eksplisitt før du setter inn verdier, slik at du ikke glemmer noe.
Øv selv
Lett: Hvilken regel brukes for å derivere en kvotient f(x)/g(x)?
Minioppsummering
- Kvotientregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g² – alltid minus i telleren
- Nevneren er alltid g² (den opprinnelige nevneren i kvadrat)
- Huskeord: 'Lo di-hi minus hi di-lo, delt på lo kvadrat'
- Kvotientregelen og produktregelen kombineres ofte i mer avanserte oppgaver
Kvotientregel: (f/g)'=(f'g−fg')/g².