8.2 Eksponentiallikninger
Intro
Eksponentiallikninger er likninger der den ukjente variabelen befinner seg i eksponenten, for eksempel 3^x = 81 eller 5^(2x) = 125. Slike likninger oppstår i modeller for befolkningsvekst, radioaktivt forfall og renteberegning. Strategien er alltid den samme: vi tar logaritmen på begge sider for å «hente ned» eksponenten til et vanlig algebraledd, og løser deretter lineært.
Regel
- Ta logaritmen på begge sider: a^x = b ⟹ x · log(a) = log(b)
- Løs for x: x = log(b) / log(a) (logaritmeskift av grunntall)
- Alternativ: skriv begge sider med samme grunntall der det er mulig
- Sjekk alltid at grunntallet a > 0 og a ≠ 1
- For naturlig logaritme: a^x = b ⟹ x = ln(b) / ln(a)
Eksempel
2^x = 8
- Vi observerer at 8 = 2³, så vi kan sammenligne grunntallet direkte
- 2^x = 2³ – siden grunntallet er det samme på begge sider, må eksponentene være like
- Dermed er x = 3
- Alternativ metode: ta log på begge sider: log(2^x) = log(8) ⟹ x · log(2) = log(8)
- x = log(8) / log(2) = 3log(2) / log(2) = 3. Svar: x = 3
Svar: 3
Forstå
Å løse a^x = b er som å spørre: «Hvilken potens gir b med grunntallet a?» Logaritmen er designet for å svare på akkurat dette spørsmålet. Når vi tar log på begge sider og bruker potensregelen log(a^x) = x · log(a), flyttes x ned fra eksponenten til en vanlig faktor – og da kan vi løse lineært. Trikset er at logaritmen «knekker» eksponentfunksjonen.
Vanlig feil
En vanlig feil er å tro at log(a^x) = log(a)^x – det er galt. Den riktige regelen er log(a^x) = x · log(a), der eksponenten x flyttes ned som en vanlig faktor. En annen feil er å dele log(b) på a i stedet for log(a), altså skrive x = log(b)/a i stedet for x = log(b)/log(a).
Øv selv
Lett: Løs 2^x = 4.
Minioppsummering
- Ta log på begge sider og bruk potensregelen: log(a^x) = x · log(a)
- Løs deretter lineært: x = log(b) / log(a)
- Der mulig: skriv begge sider med samme grunntall og sett eksponentene like
- Metoden fungerer for alle grunntall a > 0, a ≠ 1
Skriv 27 som 3^3 før du sammenligner eksponentene.