8.3 Logaritmelikninger

Til kapittel 8

Intro

Logaritmelikninger er likninger der den ukjente variabelen opptrer inne i et logaritmeuttrykk, for eksempel log(x + 2) = 3 eller log(x) + log(x − 3) = 1. De løses ved å bruke logaritmeregler til å samle alle log-ledd på én side, og deretter konvertere til eksponentialform. En kritisk detalj: argumentet til logaritmen må alltid være positivt, så enhver løsning må kontrolleres mot denne betingelsen.

Regel

  • log(x) = b ⟺ x = 10^b (konvertering til eksponentialform er hovednøkkelen)
  • Samle log-ledd med produktregelen: log(a) + log(b) = log(a · b)
  • Bruk kvotientregelen: log(a) − log(b) = log(a / b)
  • Sjekk alltid at argumentet er positivt: x > 0 må gjelde for løsningen
  • Løsninger som gir negativ eller null-argument, må forkastes (ikke i definisjonsmengden)

Eksempel

log(x)=2

  • Vi har likningen log₁₀(x) = 2
  • Bruker definisjonen: log(x) = 2 ⟺ x = 10²
  • Beregner: x = 10² = 100
  • Sjekker definisjonsmengden: x = 100 > 0 ✓
  • Svar: x = 100

Svar: 100

Forstå

Strategien er å uskrive likningen slik at vi har én enkelt logaritme på én side og et tall på den andre siden. Da bruker vi definisjonen log(x) = b ⟺ x = 10^b for å kvitte oss med logaritmen helt. Husk at logaritmen er en funksjon med definisjonsmengde x > 0 – dette er ikke bare en formalitet, men noe som faktisk kan eliminere løsninger som algebraen gir oss.

Vanlig feil

Den vanligste feilen er å glemme å sjekke definisjonsmengden etter at man har funnet en løsning. For eksempel i likningen log(x) + log(x − 3) = 1 kan algebraen gi x = −2, men dette er ugyldig fordi log(−2) og log(−5) ikke er definert. Man må alltid sette inn svaret og kontrollere at alle logaritmenes argumenter er positive.

Øv selv

Lett: Løs log(x)=1.

Minioppsummering

  • Samle alle log-ledd på én side ved hjelp av produkt- og kvotientreglene
  • Konverter til eksponentialform: log(x) = b ⟺ x = 10^b
  • Sjekk alltid at argumentet er positivt – forkast ugyldige løsninger
  • Løsning med negativt eller null-argument er ikke i definisjonsmengden og må strykes
← Tilbake
log(x−2) = 1

Gå over til eksponentialform med grunntall 10.

x − 2 = 10
Regel
Hovednøkkel: log(u)=k tilsvarer u=10^k.
Kjerneidé
Fra log(x−2)=1 får vi x−2=10.
Vanlig feil
Å skrive x−2=1 i stedet for 10^1.
Frem →